Theorem latlem12 16901

Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlem12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		latpos 16873	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr2 1061	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		simpr3 1062	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		simpr1 1060	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10		simpl 472	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 9, 3, 10, 6, 7	latcl2 16871	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ ))
12	11	simprd 478	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	meetle 16851	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-poset 16769  df-glb 16798  df-meet 16800  df-lat 16869

This theorem is referenced by:  latleeqm1  16902  latmlem1  16904  latmidm  16909  latledi  16912  mod1ile  16928  oldmm1  33522  olm01  33541  cmtbr4N  33560  atnle  33622  atlatmstc  33624  hlrelat2  33707  cvrval5  33719  cvrexchlem  33723  2atjm  33749  atbtwn  33750  ps-2b  33786  2atm  33831  2llnm4  33874  2llnmeqat  33875  dalemcea  33964  dalem21  33998  dalem54  34030  dalem55  34031  dalem57  34033  2atm2atN  34089  2llnma1b  34090  cdlemblem  34097  dalawlem2  34176  dalawlem3  34177  dalawlem6  34180  dalawlem11  34185  dalawlem12  34186  lhpocnle  34320  lhpmcvr4N  34330  lhpat3  34350  4atexlemcnd  34376  lautm  34398  trlval3  34492  cdlemc5  34500  cdleme3  34542  cdleme7ga  34553  cdleme7  34554  cdleme11k  34573  cdleme16e  34587  cdleme16f  34588  cdlemednpq  34604  cdleme22aa  34645  cdleme22b  34647  cdleme22cN  34648  cdleme23c  34657  cdlemeg46req  34835  cdlemf2  34868  cdlemg10c  34945  cdlemg12f  34954  cdlemg17dALTN  34970  cdlemg19a  34989  cdlemg27b  35002  cdlemi  35126  cdlemk15  35161  cdlemk50  35258  dia2dimlem1  35371  dihopelvalcpre  35555  dihord5b  35566  dihmeetlem1N  35597  dihglblem5apreN  35598  dihglblem2N  35601  dihmeetlem3N  35612