Theorem lautcnvle 34393

Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautcnvle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautcnvle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lautcnvle.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautcnvle	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautcnvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
2		lautcnvle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lautcnvle.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
4	2, 3	laut1o 34389	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
6		simprl 790	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		f1ocnvdm 6440	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
9		simprr 792	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		f1ocnvdm 6440	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	5, 9, 10	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
12		lautcnvle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	2, 12, 3	lautle 34388	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
14	1, 8, 11, 13	syl12anc 1316	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌))))
15		f1ocnvfv2 6433	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
16	5, 6, 15	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
17		f1ocnvfv2 6433	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
18	5, 9, 17	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
19	16, 18	breq12d 4596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑋)) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑌)) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
20	14, 19	bitr2d 268	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  LAutclaut 34289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-laut 34293

This theorem is referenced by:  lautcnv  34394  lautj  34397  lautm  34398  ltrncnvleN  34434  ltrneq2  34452