Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredn0 18526
 Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredn0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredn0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )

Proof of Theorem irredn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 irredn0.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18392 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
43anim1i 590 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
5 eldif 3550 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
64, 5sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
7 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
81, 7, 2ringlz 18410 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
93, 8mpdan 699 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
11 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅)𝑦))
1211eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ))
13 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ( 0 (.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
1413eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
1512, 14rspc2ev 3295 . . . . . . 7 (( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
166, 6, 10, 15syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
1716ex 449 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
1817orrd 392 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
19 eqid 2610 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irred‘𝑅)
21 eqid 2610 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
221, 19, 20, 21, 7isnirred 18523 . . . . 5 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
2418, 23mpbird 246 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ¬ 0𝐼)
2524adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → ¬ 0𝐼)
26 simpr 476 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋𝐼)
27 eleq1 2676 . . . 4 (𝑋 = 0 → (𝑋𝐼0𝐼))
2826, 27syl5ibcom 234 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑋 = 00𝐼))
2928necon3bd 2796 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (¬ 0𝐼𝑋0 ))
3025, 29mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  Irredcir 18463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-irred 18466 This theorem is referenced by:  prmirred  19662
 Copyright terms: Public domain W3C validator