Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcan2 27316
 Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcan2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubcan2
StepHypRef Expression
1 hvsubcl 27258 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℋ)
213adant3 1074 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℋ)
3 hvsubcl 27258 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐵) ∈ ℋ)
433adant2 1073 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐵) ∈ ℋ)
5 neg1cn 11001 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
6 neg1ne0 11003 . . . . . 6 -1 ≠ 0
75, 6pm3.2i 470 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
8 hvmulcan 27313 . . . . 5 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝐶 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
97, 8mp3an1 1403 . . . 4 (((𝐶 𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 𝐵) ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
102, 4, 9syl2anc 691 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵)))
11 hvnegdi 27308 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐴)) = (𝐴 𝐶))
12113adant3 1074 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐴)) = (𝐴 𝐶))
13 hvnegdi 27308 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐵)) = (𝐵 𝐶))
14133adant2 1073 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 𝐵)) = (𝐵 𝐶))
1512, 14eqeq12d 2625 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((-1 · (𝐶 𝐴)) = (-1 · (𝐶 𝐵)) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)))
16 hvsubcan 27315 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1710, 15, 163bitr3d 297 . 2 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18173coml 1264 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816  -cneg 10146   ℋchil 27160   ·ℎ csm 27162   −ℎ cmv 27166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-hvsub 27212 This theorem is referenced by:  hvaddsub4  27319
 Copyright terms: Public domain W3C validator