Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval0b 39480
 Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval0b.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvval0b.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0b.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoidmvval0b (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐴) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0b
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐿𝑋) = (𝐿‘∅))
21oveqd 6566 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
32adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐴) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐴))
4 hoidmvval0b.l . . . 4 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
5 hoidmvval0b.a . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
7 feq2 5940 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
87adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
96, 8mpbid 221 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
104, 9, 9hoidmv0val 39473 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐴) = 0)
113, 10eqtrd 2644 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐴) = 0)
12 nfv 1830 . . 3 𝑗(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
13 hoidmvval0b.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
155adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16 neqne 2790 . . . . . . 7 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
17 n0 3890 . . . . . . 7 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗𝑋)
1816, 17sylib 207 . . . . . 6 𝑋 = ∅ → ∃𝑗 𝑗𝑋)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 𝑗𝑋)
20 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
215ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
22 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑗))
2321, 22eqled 10019 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
2420, 23jca 553 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝑗𝑋 ∧ (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗)))
2524ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗𝑋 → (𝑗𝑋 ∧ (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗))))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝑗𝑋 → (𝑗𝑋 ∧ (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗))))
2726eximdv 1833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∃𝑗 𝑗𝑋 → ∃𝑗(𝑗𝑋 ∧ (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗))))
2819, 27mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗(𝑗𝑋 ∧ (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗)))
29 df-rex 2902 . . . 4 (∃𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ∃𝑗(𝑗𝑋 ∧ (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗)))
3028, 29sylibr 223 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
3112, 4, 14, 15, 15, 30hoidmvval0 39477 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐴) = 0)
3211, 31pm2.61dan 828 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  ∏cprod 14474  volcvol 23039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  39486
 Copyright terms: Public domain W3C validator