Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifb 20475
 Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifb ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1075 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1075 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1056 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉)
7 nn0re 11178 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
8 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
97, 8jca 553 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10 ne0gt0 10021 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
1211biimprcd 239 . . . . . . 7 (0 < 𝑁 → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1413impcom 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15143adant3 1074 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16 df-ne 2782 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
1716biimpi 205 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
1817pm2.21d 117 . . . 4 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1915, 18syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
2019imp 444 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
21 eqidd 2611 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
224, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
2523, 24ltned 10052 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁𝑆)
2625neneqd 2787 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2726adantrl 748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
28273adant3 1074 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2928pm2.21d 117 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
3029imp 444 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
312nnred 10912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
32 ltnsym 10014 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3322, 31, 32syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3433com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3534adantl 481 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3635impcom 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
37363adant3 1074 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3837pm2.21d 117 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷))
3938imp 444 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
401, 3, 5, 6, 20, 21, 30, 39fvmptnn04if 20473 1 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ⦋csb 3499  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator