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Theorem funsssuppss 7208
 Description: The support of a function which is a subset of another function is a subset of the support of this other function. (Contributed by AV, 27-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsssuppss ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))

Proof of Theorem funsssuppss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funss 5822 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
21impcom 445 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → Fun 𝐹)
3 funfn 5833 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
43biimpi 205 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
52, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
6 funfn 5833 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺𝐺 Fn dom 𝐺)
76biimpi 205 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺𝐺 Fn dom 𝐺)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
95, 8jca 553 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝐹 Fn dom 𝐹𝐺 Fn dom 𝐺))
1093adant3 1074 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → (𝐹 Fn dom 𝐹𝐺 Fn dom 𝐺))
1110adantr 480 . . . . 5 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 Fn dom 𝐹𝐺 Fn dom 𝐺))
12 dmss 5245 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
13123ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
1413adantr 480 . . . . . 6 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
15 dmexg 6989 . . . . . . . 8 (𝐺𝑉 → dom 𝐺 ∈ V)
16153ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → dom 𝐺 ∈ V)
1716adantr 480 . . . . . 6 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
18 simpr 476 . . . . . 6 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
1914, 17, 183jca 1235 . . . . 5 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ dom 𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
2011, 19jca 553 . . . 4 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐺 Fn dom 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ dom 𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)))
21 funssfv 6119 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
22213expa 1257 . . . . . . . 8 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
23 eqeq1 2614 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑥) = (𝐹𝑥) → ((𝐺𝑥) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍))
2423biimpd 218 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑥) = (𝐹𝑥) → ((𝐺𝑥) = 𝑍 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
2522, 24syl 17 . . . . . . 7 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝑥) = 𝑍 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
2625ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹((𝐺𝑥) = 𝑍 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
27263adant3 1074 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹((𝐺𝑥) = 𝑍 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
2827adantr 480 . . . 4 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹((𝐺𝑥) = 𝑍 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
29 suppfnss 7207 . . . 4 (((𝐹 Fn dom 𝐹𝐺 Fn dom 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ dom 𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹((𝐺𝑥) = 𝑍 → (𝐹𝑥) = 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍)))
3020, 28, 29sylc 63 . . 3 (((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
3130expcom 450 . 2 (𝑍 ∈ V → ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍)))
32 ssid 3587 . . . 4 ∅ ⊆ ∅
33 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
3433con3i 149 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → ¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
35 supp0prc 7185 . . . . . 6 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
3634, 35syl 17 . . . . 5 𝑍 ∈ V → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
37 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
3837con3i 149 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → ¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
39 supp0prc 7185 . . . . . 6 (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = ∅)
4038, 39syl 17 . . . . 5 𝑍 ∈ V → (𝐺 supp 𝑍) = ∅)
4136, 40sseq12d 3597 . . . 4 𝑍 ∈ V → ((𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍) ↔ ∅ ⊆ ∅))
4232, 41mpbiri 247 . . 3 𝑍 ∈ V → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
4342a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍)))
4431, 43pm2.61i 175 1 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  dom cdm 5038  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-supp 7183 This theorem is referenced by:  tdeglem4  23624
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