Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0fz 12658
 Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for a finite set of sequential integers containing the support of the function. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fz ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑍   𝑅,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem fsuppmapnn0fz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsuppmapnn0ub 12657 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
2 simpllr 795 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)) → 𝑍𝑉)
3 simplll 794 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚0))
4 simplr 788 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
5 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
62, 3, 4, 5suppssfz 12656 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))
76ex 449 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
87reximdva 3000 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
91, 8syld 46 1 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815   < clt 9953  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator