Theorem fin1aufil 21546

Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) 𝑋, the set of infinite subsets of 𝑋 is a free ultrafilter on 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1aufil.1	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fin1aufil	⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∩ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem fin1aufil

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1aufil.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
2	1	eleq2i 2680	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
3		eldif 3550	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
4		selpw 4115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	4	anbi1i 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
6	2, 3, 5	3bitri 285	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)))
8		elex 3185	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ V)
9		eldifn 3695	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
10		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑋 ∈ Fin))
11	10	notbid 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
12	11	sbcieg 3435	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ([𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
13	9, 12	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → [𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
14		0fin 8073	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
15		0ex 4718	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
16		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
17	16	notbid 307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin))
18	15, 17	sbcie 3437	. . . . . . 7 ⊢ ([∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin)
19	18	con2bii 346	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ Fin ↔ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
20	14, 19	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
22		ssfi 8065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
23	22	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
24	23	3ad2ant3 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
25	24	con3d 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ Fin → ¬ 𝑦 ∈ Fin))
26		vex 3176	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
27		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑧 ∈ Fin))
28	27	notbid 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
29	26, 28	sbcie 3437	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin)
30		vex 3176	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
31		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑦 ∈ Fin))
32	31	notbid 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin))
33	30, 32	sbcie 3437	. . . . 5 ⊢ ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin)
34	25, 29, 33	3imtr4g 284	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
35		eldifi 3694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ FinIa)
36		fin1ai 8998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ FinIa ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
37	35, 36	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
38	37	3adant3 1074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
39		inundif 3998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝑦) ∪ (𝑧 ∖ 𝑦)) = 𝑧
40		incom 3767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ 𝑧)
41		simprl 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin)
42	40, 41	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧 ∩ 𝑦) ∈ Fin)
43		simprr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
44		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
45	44	ssdifd 3708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧 ∖ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑦))
46		ssfi 8065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∖ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑦)) → (𝑧 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
47	43, 45, 46	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
48		unfi 8112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝑧 ∩ 𝑦) ∪ (𝑧 ∖ 𝑦)) ∈ Fin)
49	42, 47, 48	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → ((𝑧 ∩ 𝑦) ∪ (𝑧 ∖ 𝑦)) ∈ Fin)
50	39, 49	syl5eqelr 2693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
51	50	expr 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin) → ((𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
52	51	orim2d 881	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin) → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
53	52	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))))
54	38, 53	mpid 43	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
55	54	con3d 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) → ¬ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin))
56	33, 29	anbi12i 729	. . . . . 6 ⊢ (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
57		ioran 510	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
58	56, 57	bitr4i 266	. . . . 5 ⊢ (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))
59	30	inex1 4727	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
60		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (𝑥 ∈ Fin ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin))
61	60	notbid 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin))
62	59, 61	sbcie 3437	. . . . 5 ⊢ ([(𝑦 ∩ 𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ Fin)
63	55, 58, 62	3imtr4g 284	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) → [(𝑦 ∩ 𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
64	7, 8, 13, 21, 34, 63	isfild 21472	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
65	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
66		unfi 8112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin) → (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ Fin)
67		ssun2 3739	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑋)
68		undif2 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥)) = (𝑥 ∪ 𝑋)
69	67, 68	sseqtr4i 3601	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥))
70		ssfi 8065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋 ∖ 𝑥))) → 𝑋 ∈ Fin)
71	66, 69, 70	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
72	65, 71	nsyl 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
73		ianor 508	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
74	72, 73	sylib 207	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
75		elpwi 4117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
76	75	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
77	6	baib 942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
78	76, 77	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
79	1	eleq2i 2680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
80		difss 3699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
81		elpw2g 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
83	80, 82	mpbiri 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
84		eldif 3550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
85	84	baib 942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
86	83, 85	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
87	79, 86	syl5bb 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
88	78, 87	orbi12d 742	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ Fin)))
89	74, 88	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
90	89	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹))
91		isufil 21517	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
92	64, 90, 91	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
93		snfi 7923	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
94		eldifn 3695	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥} ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
95	94, 1	eleq2s 2706	. . . . 5 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝐹 → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
96	93, 95	mt2 190	. . . 4 ⊢ ¬ {𝑥} ∈ 𝐹
97		uffixsn 21539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
98	92, 97	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
99	98	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → {𝑥} ∈ 𝐹))
100	96, 99	mtoi 189	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
101	100	eq0rdv 3931	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∩ 𝐹 = ∅)
102	92, 101	jca 553	1 ⊢ (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∩ 𝐹 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  [wsbc 3402   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  Fin^Iacfin1a 8983  Filcfil 21459  UFilcufil 21513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fin1a 8990  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-fil 21460  df-ufil 21515

This theorem is referenced by: (None)