Theorem fin1aufil 19503

Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) X, the set of infinite subsets of X is a free ultrafilter on X. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1aufil.1	|- F = ( ~P X \ Fin )

Assertion

Ref	Expression
fin1aufil	|- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( F e. ( UFil ` X ) /\ |^| F = (/) ) )

Proof of Theorem fin1aufil

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1aufil.1	. . . . . . 7 |- F = ( ~P X \ Fin )
2	1	eleq2i 2505	. . . . . 6 |- ( x e. F <-> x e. ( ~P X \ Fin ) )
3		eldif 3336	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P X \ Fin ) <-> ( x e. ~P X /\ -. x e. Fin ) )
4		selpw 3865	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
5	4	anbi1i 695	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P X /\ -. x e. Fin ) <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) )
6	2, 3, 5	3bitri 271	. . . . 5 |- ( x e. F <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( x e. F <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) ) )
8		elex 2979	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> X e. _V )
9		eldifn 3477	. . . . 5 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. X e. Fin )
10		eleq1 2501	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( x e. Fin <-> X e. Fin ) )
11	10	notbid 294	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( -. x e. Fin <-> -. X e. Fin ) )
12	11	sbcieg 3217	. . . . 5 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( [. X / x ]. -. x e. Fin <-> -. X e. Fin ) )
13	9, 12	mpbird 232	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> [. X / x ]. -. x e. Fin )
14		0fin 7538	. . . . . 6 |- (/) e. Fin
15		0ex 4420	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
16		eleq1 2501	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
17	16	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( -. x e. Fin <-> -. (/) e. Fin ) )
18	15, 17	sbcie 3219	. . . . . . 7 |- ( [. (/) / x ]. -. x e. Fin <-> -. (/) e. Fin )
19	18	con2bii 332	. . . . . 6 |- ( (/) e. Fin <-> -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin )
20	14, 19	mpbi 208	. . . . 5 |- -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin )
22		ssfi 7531	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ z C_ y ) -> z e. Fin )
23	22	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( y e. Fin -> z e. Fin ) )
24	23	3ad2ant3 1011	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( y e. Fin -> z e. Fin ) )
25	24	con3d 133	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( -. z e. Fin -> -. y e. Fin ) )
26		vex 2973	. . . . . 6 |- z e. _V
27		eleq1 2501	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. Fin <-> z e. Fin ) )
28	27	notbid 294	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( -. x e. Fin <-> -. z e. Fin ) )
29	26, 28	sbcie 3219	. . . . 5 |- ( [. z / x ]. -. x e. Fin <-> -. z e. Fin )
30		vex 2973	. . . . . 6 |- y e. _V
31		eleq1 2501	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. Fin <-> y e. Fin ) )
32	31	notbid 294	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. Fin <-> -. y e. Fin ) )
33	30, 32	sbcie 3219	. . . . 5 |- ( [. y / x ]. -. x e. Fin <-> -. y e. Fin )
34	25, 29, 33	3imtr4g 270	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( [. z / x ]. -. x e. Fin -> [. y / x ]. -. x e. Fin ) )
35		eldifi 3476	. . . . . . . . 9 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> X e. FinIa )
36		fin1ai 8460	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. FinIa /\ y C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
37	35, 36	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
38	37	3adant3 1008	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
39		inundif 3755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) = z
40		incom 3541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z i^i y ) = ( y i^i z )
41		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( y i^i z ) e. Fin )
42	40, 41	syl5eqel 2525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z i^i y ) e. Fin )
43		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( X \ y ) e. Fin )
44		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> z C_ X )
45	44	ssdifd 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z \ y ) C_ ( X \ y ) )
46		ssfi 7531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X \ y ) e. Fin /\ ( z \ y ) C_ ( X \ y ) ) -> ( z \ y ) e. Fin )
47	43, 45, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z \ y ) e. Fin )
48		unfi 7577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z i^i y ) e. Fin /\ ( z \ y ) e. Fin ) -> ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) e. Fin )
49	42, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) e. Fin )
50	39, 49	syl5eqelr 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> z e. Fin )
51	50	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( y i^i z ) e. Fin ) -> ( ( X \ y ) e. Fin -> z e. Fin ) )
52	51	orim2d 836	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( y i^i z ) e. Fin ) -> ( ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) )
53	52	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( y i^i z ) e. Fin -> ( ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) ) )
54	38, 53	mpid 41	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( y i^i z ) e. Fin -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) )
55	54	con3d 133	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) -> -. ( y i^i z ) e. Fin ) )
56	33, 29	anbi12i 697	. . . . . 6 |- ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) <-> ( -. y e. Fin /\ -. z e. Fin ) )
57		ioran 490	. . . . . 6 |- ( -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) <-> ( -. y e. Fin /\ -. z e. Fin ) )
58	56, 57	bitr4i 252	. . . . 5 |- ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) <-> -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) )
59	30	inex1 4431	. . . . . 6 |- ( y i^i z ) e. _V
60		eleq1 2501	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( x e. Fin <-> ( y i^i z ) e. Fin ) )
61	60	notbid 294	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( -. x e. Fin <-> -. ( y i^i z ) e. Fin ) )
62	59, 61	sbcie 3219	. . . . 5 |- ( [. ( y i^i z ) / x ]. -. x e. Fin <-> -. ( y i^i z ) e. Fin )
63	55, 58, 62	3imtr4g 270	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) -> [. ( y i^i z ) / x ]. -. x e. Fin ) )
64	7, 8, 13, 21, 34, 63	isfild 19429	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> F e. ( Fil ` X ) )
65	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> -. X e. Fin )
66		unfi 7577	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> ( x u. ( X \ x ) ) e. Fin )
67		ssun2 3518	. . . . . . . . 9 |- X C_ ( x u. X )
68		undif2 3753	. . . . . . . . 9 |- ( x u. ( X \ x ) ) = ( x u. X )
69	67, 68	sseqtr4i 3387	. . . . . . . 8 |- X C_ ( x u. ( X \ x ) )
70		ssfi 7531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x u. ( X \ x ) ) e. Fin /\ X C_ ( x u. ( X \ x ) ) ) -> X e. Fin )
71	66, 69, 70	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> X e. Fin )
72	65, 71	nsyl 121	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> -. ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) )
73		ianor 488	. . . . . 6 |- ( -. ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) <-> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
74	72, 73	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
75		elpwi 3867	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
76	75	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
77	6	baib 896	. . . . . . 7 |- ( x C_ X -> ( x e. F <-> -. x e. Fin ) )
78	76, 77	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F <-> -. x e. Fin ) )
79	1	eleq2i 2505	. . . . . . 7 |- ( ( X \ x ) e. F <-> ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) )
80		difss 3481	. . . . . . . . 9 |- ( X \ x ) C_ X
81		elpw2g 4453	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) )
83	80, 82	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( X \ x ) e. ~P X )
84		eldif 3336	. . . . . . . . 9 |- ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> ( ( X \ x ) e. ~P X /\ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
85	84	baib 896	. . . . . . . 8 |- ( ( X \ x ) e. ~P X -> ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
86	83, 85	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
87	79, 86	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. F <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
88	78, 87	orbi12d 709	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) <-> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) ) )
89	74, 88	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
90	89	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
91		isufil 19474	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
92	64, 90, 91	sylanbrc 664	. 2 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> F e. ( UFil ` X ) )
93		snfi 7388	. . . . 5 |- { x } e. Fin
94		eldifn 3477	. . . . . 6 |- ( { x } e. ( ~P X \ Fin ) -> -. { x } e. Fin )
95	94, 1	eleq2s 2533	. . . . 5 |- ( { x } e. F -> -. { x } e. Fin )
96	93, 95	mt2 179	. . . 4 |- -. { x } e. F
97		uffixsn 19496	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x e. |^| F ) -> { x } e. F )
98	92, 97	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. |^| F ) -> { x } e. F )
99	98	ex 434	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( x e. |^| F -> { x } e. F ) )
100	96, 99	mtoi 178	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. x e. |^| F )
101	100	eq0rdv 3670	. 2 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> |^| F = (/) )
102	92, 101	jca 532	1 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( F e. ( UFil ` X ) /\ |^| F = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2713   [.wsbc 3184   \ cdif 3323   u. cun 3324   i^i cin 3325   C_ wss 3326   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   {csn 3875   |^|cint 4126   ` cfv 5416   Fincfn 7308  Fin^Iacfin1a 8445   Filcfil 19416   UFilcufil 19470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fin1a 8452  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-fil 19417  df-ufil 19472

This theorem is referenced by: (None)