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Theorem fin1aufil 19503
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set)  X, the set of infinite subsets of 
X is a free ultrafilter on  X. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
Assertion
Ref Expression
fin1aufil  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
21eleq2i 2505 . . . . . 6  |-  ( x  e.  F  <->  x  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
3 eldif 3336 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin )
)
4 selpw 3865 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
54anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
62, 3, 53bitri 271 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) ) )
8 elex 2979 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e.  _V )
9 eldifn 3477 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  X  e.  Fin )
10 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  Fin  <->  X  e.  Fin ) )
1110notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
1211sbcieg 3217 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
139, 12mpbird 232 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
14 0fin 7538 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
15 0ex 4420 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1716notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin ) )
1815, 17sbcie 3219 . . . . . . 7  |-  ( [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin )
1918con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  <->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
2014, 19mpbi 208 . . . . 5  |-  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
22 ssfi 7531 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  C_  y )  -> 
z  e.  Fin )
2322expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
24233ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( y  e. 
Fin  ->  z  e.  Fin ) )
2524con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( -.  z  e.  Fin  ->  -.  y  e.  Fin ) )
26 vex 2973 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
27 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  Fin  <->  z  e.  Fin ) )
2827notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
)
2926, 28sbcie 3219 . . . . 5  |-  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
30 vex 2973 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
31 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  Fin  <->  y  e.  Fin ) )
3231notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
)
3330, 32sbcie 3219 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
3425, 29, 333imtr4g 270 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  ->  [. y  /  x ].  -.  x  e. 
Fin ) )
35 eldifi 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e. FinIa )
36 fin1ai 8460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. FinIa  /\  y  C_  X )  ->  (
y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)
3735, 36sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X
)  ->  ( y  e.  Fin  \/  ( X 
\  y )  e. 
Fin ) )
38373adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( y  e. 
Fin  \/  ( X  \  y )  e.  Fin ) )
39 inundif 3755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  y )  u.  ( z  \ 
y ) )  =  z
40 incom 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  =  ( y  i^i  z
)
41 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( y  i^i  z )  e.  Fin )
4240, 41syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  i^i  y )  e.  Fin )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( X  \  y )  e.  Fin )
44 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  C_  X )
4544ssdifd 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  C_  ( X  \  y
) )
46 ssfi 7531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  \  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  C_  ( X  \  y ) )  -> 
( z  \  y
)  e.  Fin )
4743, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  e. 
Fin )
48 unfi 7577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( ( z  i^i  y )  u.  (
z  \  y )
)  e.  Fin )
4942, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( (
z  i^i  y )  u.  ( z  \  y
) )  e.  Fin )
5039, 49syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  e.  Fin )
5150expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( X  \  y
)  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
5251orim2d 836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) )
5352ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( ( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y )  e. 
Fin )  ->  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) ) )
5438, 53mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) ) )
5554con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( -.  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  ->  -.  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
5633, 29anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( -.  y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  Fin ) )
57 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  <->  ( -.  y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  Fin ) )
5856, 57bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  -.  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) )
5930inex1 4431 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
60 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  e.  Fin  <->  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
6160notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
)
6259, 61sbcie 3219 . . . . 5  |-  ( [. ( y  i^i  z
)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
6355, 58, 623imtr4g 270 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\  [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin )  ->  [. (
y  i^i  z )  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) )
647, 8, 13, 21, 34, 63isfild 19429 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
659adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  X  e.  Fin )
66 unfi 7577 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin )
67 ssun2 3518 . . . . . . . . 9  |-  X  C_  ( x  u.  X
)
68 undif2 3753 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  ( X  \  x ) )  =  ( x  u.  X
)
6967, 68sseqtr4i 3387 . . . . . . . 8  |-  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) )
70 ssfi 7531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin  /\  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) ) )  ->  X  e.  Fin )
7166, 69, 70sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
7265, 71nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
73 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
7472, 73sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
75 elpwi 3867 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
7675adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
776baib 896 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  X  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
7876, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
791eleq2i 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  x )  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
80 difss 3481 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  x )  C_  X
81 elpw2g 4453 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
8281adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
8380, 82mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( X  \  x )  e. 
~P X )
84 eldif 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( ( X  \  x )  e. 
~P X  /\  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8584baib 896 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  x )  e.  ~P X  -> 
( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) 
<->  -.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
8683, 85syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8779, 86syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  <->  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) )
8878, 87orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  <-> 
( -.  x  e. 
Fin  \/  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) ) )
8974, 88mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9089ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X 
\  x )  e.  F ) )
91 isufil 19474 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
9264, 90, 91sylanbrc 664 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
93 snfi 7388 . . . . 5  |-  { x }  e.  Fin
94 eldifn 3477 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  ( ~P X  \  Fin )  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9594, 1eleq2s 2533 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  F  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9693, 95mt2 179 . . . 4  |-  -.  {
x }  e.  F
97 uffixsn 19496 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9892, 97sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9998ex 434 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  |^| F  ->  { x }  e.  F ) )
10096, 99mtoi 178 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  x  e.  |^| F
)
101100eq0rdv 3670 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  |^| F  =  (/) )
10292, 101jca 532 1  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   [.wsbc 3184    \ cdif 3323    u. cun 3324    i^i cin 3325    C_ wss 3326   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   {csn 3875   |^|cint 4126   ` cfv 5416   Fincfn 7308  FinIacfin1a 8445   Filcfil 19416   UFilcufil 19470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fin1a 8452  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-fil 19417  df-ufil 19472
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