MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1aufil Structured version   Unicode version

Theorem fin1aufil 20931
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set)  X, the set of infinite subsets of 
X is a free ultrafilter on  X. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
Assertion
Ref Expression
fin1aufil  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
21eleq2i 2500 . . . . . 6  |-  ( x  e.  F  <->  x  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
3 eldif 3446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin )
)
4 selpw 3986 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
54anbi1i 699 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
62, 3, 53bitri 274 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) ) )
8 elex 3090 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e.  _V )
9 eldifn 3588 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  X  e.  Fin )
10 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  Fin  <->  X  e.  Fin ) )
1110notbid 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
1211sbcieg 3332 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
139, 12mpbird 235 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
14 0fin 7801 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
15 0ex 4552 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 eleq1 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1716notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin ) )
1815, 17sbcie 3334 . . . . . . 7  |-  ( [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin )
1918con2bii 333 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  <->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
2014, 19mpbi 211 . . . . 5  |-  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
22 ssfi 7794 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  C_  y )  -> 
z  e.  Fin )
2322expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
24233ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( y  e. 
Fin  ->  z  e.  Fin ) )
2524con3d 138 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( -.  z  e.  Fin  ->  -.  y  e.  Fin ) )
26 vex 3084 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
27 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  Fin  <->  z  e.  Fin ) )
2827notbid 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
)
2926, 28sbcie 3334 . . . . 5  |-  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
30 vex 3084 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
31 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  Fin  <->  y  e.  Fin ) )
3231notbid 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
)
3330, 32sbcie 3334 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
3425, 29, 333imtr4g 273 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  ->  [. y  /  x ].  -.  x  e. 
Fin ) )
35 eldifi 3587 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e. FinIa )
36 fin1ai 8723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. FinIa  /\  y  C_  X )  ->  (
y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)
3735, 36sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X
)  ->  ( y  e.  Fin  \/  ( X 
\  y )  e. 
Fin ) )
38373adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( y  e. 
Fin  \/  ( X  \  y )  e.  Fin ) )
39 inundif 3873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  y )  u.  ( z  \ 
y ) )  =  z
40 incom 3655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  =  ( y  i^i  z
)
41 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( y  i^i  z )  e.  Fin )
4240, 41syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  i^i  y )  e.  Fin )
43 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( X  \  y )  e.  Fin )
44 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  C_  X )
4544ssdifd 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  C_  ( X  \  y
) )
46 ssfi 7794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  \  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  C_  ( X  \  y ) )  -> 
( z  \  y
)  e.  Fin )
4743, 45, 46syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  e. 
Fin )
48 unfi 7840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( ( z  i^i  y )  u.  (
z  \  y )
)  e.  Fin )
4942, 47, 48syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( (
z  i^i  y )  u.  ( z  \  y
) )  e.  Fin )
5039, 49syl5eqelr 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  e.  Fin )
5150expr 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( X  \  y
)  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
5251orim2d 848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) )
5352ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( ( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y )  e. 
Fin )  ->  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) ) )
5438, 53mpid 42 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) ) )
5554con3d 138 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( -.  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  ->  -.  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
5633, 29anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( -.  y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  Fin ) )
57 ioran 492 . . . . . 6  |-  ( -.  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  <->  ( -.  y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  Fin ) )
5856, 57bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  -.  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) )
5930inex1 4561 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
60 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  e.  Fin  <->  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
6160notbid 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
)
6259, 61sbcie 3334 . . . . 5  |-  ( [. ( y  i^i  z
)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
6355, 58, 623imtr4g 273 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\  [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin )  ->  [. (
y  i^i  z )  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) )
647, 8, 13, 21, 34, 63isfild 20857 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
659adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  X  e.  Fin )
66 unfi 7840 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin )
67 ssun2 3630 . . . . . . . . 9  |-  X  C_  ( x  u.  X
)
68 undif2 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  ( X  \  x ) )  =  ( x  u.  X
)
6967, 68sseqtr4i 3497 . . . . . . . 8  |-  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) )
70 ssfi 7794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin  /\  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) ) )  ->  X  e.  Fin )
7166, 69, 70sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
7265, 71nsyl 124 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
73 ianor 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
7472, 73sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
75 elpwi 3988 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
7675adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
776baib 911 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  X  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
7876, 77syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
791eleq2i 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  x )  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
80 difss 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  x )  C_  X
81 elpw2g 4583 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
8281adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
8380, 82mpbiri 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( X  \  x )  e. 
~P X )
84 eldif 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( ( X  \  x )  e. 
~P X  /\  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8584baib 911 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  x )  e.  ~P X  -> 
( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) 
<->  -.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
8683, 85syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8779, 86syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  <->  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) )
8878, 87orbi12d 714 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  <-> 
( -.  x  e. 
Fin  \/  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) ) )
8974, 88mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9089ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X 
\  x )  e.  F ) )
91 isufil 20902 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
9264, 90, 91sylanbrc 668 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
93 snfi 7653 . . . . 5  |-  { x }  e.  Fin
94 eldifn 3588 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  ( ~P X  \  Fin )  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9594, 1eleq2s 2530 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  F  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9693, 95mt2 182 . . . 4  |-  -.  {
x }  e.  F
97 uffixsn 20924 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9892, 97sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9998ex 435 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  |^| F  ->  { x }  e.  F ) )
10096, 99mtoi 181 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  x  e.  |^| F
)
101100eq0rdv 3797 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  |^| F  =  (/) )
10292, 101jca 534 1  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   [.wsbc 3299    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   |^|cint 4252   ` cfv 5597   Fincfn 7573  FinIacfin1a 8708   Filcfil 20844   UFilcufil 20898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-fin1a 8715  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-fil 20845  df-ufil 20900
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator