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Theorem fin1aufil 20299
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set)  X, the set of infinite subsets of 
X is a free ultrafilter on  X. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
Assertion
Ref Expression
fin1aufil  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
21eleq2i 2519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  F  <->  x  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
3 eldif 3468 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin )
)
4 selpw 4000 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
54anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
62, 3, 53bitri 271 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) ) )
8 elex 3102 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e.  _V )
9 eldifn 3609 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  X  e.  Fin )
10 eleq1 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  Fin  <->  X  e.  Fin ) )
1110notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
1211sbcieg 3344 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
139, 12mpbird 232 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
14 0fin 7745 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
15 0ex 4563 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1716notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin ) )
1815, 17sbcie 3346 . . . . . . 7  |-  ( [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin )
1918con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  <->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
2014, 19mpbi 208 . . . . 5  |-  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
22 ssfi 7738 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  C_  y )  -> 
z  e.  Fin )
2322expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
24233ad2ant3 1018 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( y  e. 
Fin  ->  z  e.  Fin ) )
2524con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( -.  z  e.  Fin  ->  -.  y  e.  Fin ) )
26 vex 3096 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
27 eleq1 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  Fin  <->  z  e.  Fin ) )
2827notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
)
2926, 28sbcie 3346 . . . . 5  |-  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
30 vex 3096 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
31 eleq1 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  Fin  <->  y  e.  Fin ) )
3231notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
)
3330, 32sbcie 3346 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
3425, 29, 333imtr4g 270 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  ->  [. y  /  x ].  -.  x  e. 
Fin ) )
35 eldifi 3608 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e. FinIa )
36 fin1ai 8671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. FinIa  /\  y  C_  X )  ->  (
y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)
3735, 36sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X
)  ->  ( y  e.  Fin  \/  ( X 
\  y )  e. 
Fin ) )
38373adant3 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( y  e. 
Fin  \/  ( X  \  y )  e.  Fin ) )
39 inundif 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  y )  u.  ( z  \ 
y ) )  =  z
40 incom 3673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  =  ( y  i^i  z
)
41 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( y  i^i  z )  e.  Fin )
4240, 41syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  i^i  y )  e.  Fin )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( X  \  y )  e.  Fin )
44 simpl3 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  C_  X )
4544ssdifd 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  C_  ( X  \  y
) )
46 ssfi 7738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  \  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  C_  ( X  \  y ) )  -> 
( z  \  y
)  e.  Fin )
4743, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  e. 
Fin )
48 unfi 7785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( ( z  i^i  y )  u.  (
z  \  y )
)  e.  Fin )
4942, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( (
z  i^i  y )  u.  ( z  \  y
) )  e.  Fin )
5039, 49syl5eqelr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  e.  Fin )
5150expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( X  \  y
)  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
5251orim2d 838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) )
5352ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( ( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y )  e. 
Fin )  ->  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) ) )
5438, 53mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) ) )
5554con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( -.  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  ->  -.  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
5633, 29anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( -.  y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  Fin ) )
57 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  <->  ( -.  y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  Fin ) )
5856, 57bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  -.  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) )
5930inex1 4574 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
60 eleq1 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  e.  Fin  <->  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
6160notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
)
6259, 61sbcie 3346 . . . . 5  |-  ( [. ( y  i^i  z
)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
6355, 58, 623imtr4g 270 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\  [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin )  ->  [. (
y  i^i  z )  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) )
647, 8, 13, 21, 34, 63isfild 20225 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
659adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  X  e.  Fin )
66 unfi 7785 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin )
67 ssun2 3650 . . . . . . . . 9  |-  X  C_  ( x  u.  X
)
68 undif2 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  ( X  \  x ) )  =  ( x  u.  X
)
6967, 68sseqtr4i 3519 . . . . . . . 8  |-  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) )
70 ssfi 7738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin  /\  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) ) )  ->  X  e.  Fin )
7166, 69, 70sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
7265, 71nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
73 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
7472, 73sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
75 elpwi 4002 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
7675adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
776baib 901 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  X  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
7876, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
791eleq2i 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  x )  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
80 difss 3613 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  x )  C_  X
81 elpw2g 4596 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
8281adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
8380, 82mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( X  \  x )  e. 
~P X )
84 eldif 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( ( X  \  x )  e. 
~P X  /\  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8584baib 901 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  x )  e.  ~P X  -> 
( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) 
<->  -.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
8683, 85syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8779, 86syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  <->  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) )
8878, 87orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  <-> 
( -.  x  e. 
Fin  \/  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) ) )
8974, 88mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9089ralrimiva 2855 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X 
\  x )  e.  F ) )
91 isufil 20270 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
9264, 90, 91sylanbrc 664 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
93 snfi 7594 . . . . 5  |-  { x }  e.  Fin
94 eldifn 3609 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  ( ~P X  \  Fin )  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9594, 1eleq2s 2549 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  F  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9693, 95mt2 179 . . . 4  |-  -.  {
x }  e.  F
97 uffixsn 20292 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9892, 97sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9998ex 434 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  |^| F  ->  { x }  e.  F ) )
10096, 99mtoi 178 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  x  e.  |^| F
)
101100eq0rdv 3802 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  |^| F  =  (/) )
10292, 101jca 532 1  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   [.wsbc 3311    \ cdif 3455    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   {csn 4010   |^|cint 4267   ` cfv 5574   Fincfn 7514  FinIacfin1a 8656   Filcfil 20212   UFilcufil 20266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-fin 7518  df-fin1a 8663  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-fil 20213  df-ufil 20268
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