MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1aufil Structured version   Unicode version

Theorem fin1aufil 20727
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set)  X, the set of infinite subsets of 
X is a free ultrafilter on  X. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
Assertion
Ref Expression
fin1aufil  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( ~P X  \  Fin )
21eleq2i 2482 . . . . . 6  |-  ( x  e.  F  <->  x  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
3 eldif 3426 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin )
)
4 selpw 3964 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
54anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P X  /\  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
62, 3, 53bitri 273 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  F  <->  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  Fin ) ) )
8 elex 3070 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e.  _V )
9 eldifn 3568 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  X  e.  Fin )
10 eleq1 2476 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  Fin  <->  X  e.  Fin ) )
1110notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
1211sbcieg 3312 . . . . 5  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  X  e.  Fin )
)
139, 12mpbird 234 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  [. X  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
14 0fin 7784 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
15 0ex 4528 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 eleq1 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1716notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin ) )
1815, 17sbcie 3314 . . . . . . 7  |-  ( [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  (/)  e.  Fin )
1918con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  <->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
2014, 19mpbi 210 . . . . 5  |-  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  [. (/)  /  x ].  -.  x  e.  Fin )
22 ssfi 7777 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  C_  y )  -> 
z  e.  Fin )
2322expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
24233ad2ant3 1022 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( y  e. 
Fin  ->  z  e.  Fin ) )
2524con3d 135 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( -.  z  e.  Fin  ->  -.  y  e.  Fin ) )
26 vex 3064 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
27 eleq1 2476 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  Fin  <->  z  e.  Fin ) )
2827notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
)
2926, 28sbcie 3314 . . . . 5  |-  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  z  e.  Fin )
30 vex 3064 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
31 eleq1 2476 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  Fin  <->  y  e.  Fin ) )
3231notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
)
3330, 32sbcie 3314 . . . . 5  |-  ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  y  e.  Fin )
3425, 29, 333imtr4g 272 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y )  ->  ( [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin  ->  [. y  /  x ].  -.  x  e. 
Fin ) )
35 eldifi 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  X  e. FinIa )
36 fin1ai 8707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. FinIa  /\  y  C_  X )  ->  (
y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)
3735, 36sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X
)  ->  ( y  e.  Fin  \/  ( X 
\  y )  e. 
Fin ) )
38373adant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( y  e. 
Fin  \/  ( X  \  y )  e.  Fin ) )
39 inundif 3852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  y )  u.  ( z  \ 
y ) )  =  z
40 incom 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  =  ( y  i^i  z
)
41 simprl 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( y  i^i  z )  e.  Fin )
4240, 41syl5eqel 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  i^i  y )  e.  Fin )
43 simprr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( X  \  y )  e.  Fin )
44 simpl3 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  C_  X )
4544ssdifd 3581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  C_  ( X  \  y
) )
46 ssfi 7777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  \  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  C_  ( X  \  y ) )  -> 
( z  \  y
)  e.  Fin )
4743, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( z  \  y )  e. 
Fin )
48 unfi 7823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  e.  Fin  /\  ( z  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( ( z  i^i  y )  u.  (
z  \  y )
)  e.  Fin )
4942, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  ( (
z  i^i  y )  u.  ( z  \  y
) )  e.  Fin )
5039, 49syl5eqelr 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
( y  i^i  z
)  e.  Fin  /\  ( X  \  y
)  e.  Fin )
)  ->  z  e.  Fin )
5150expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( X  \  y
)  e.  Fin  ->  z  e.  Fin ) )
5251orim2d 843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  /\  (
y  i^i  z )  e.  Fin )  ->  (
( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) )
5352ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( ( y  e.  Fin  \/  ( X  \  y )  e. 
Fin )  ->  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )
) ) )
5438, 53mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
Fin  ->  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) ) )
5554con3d 135 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( -.  (
y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  ->  -.  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
5633, 29anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  ( -.  y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  Fin ) )
57 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( y  e.  Fin  \/  z  e.  Fin )  <->  ( -.  y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  Fin ) )
5856, 57bitr4i 254 . . . . 5  |-  ( (
[. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\ 
[. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) 
<->  -.  ( y  e. 
Fin  \/  z  e.  Fin ) )
5930inex1 4537 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
60 eleq1 2476 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  e.  Fin  <->  ( y  i^i  z )  e.  Fin ) )
6160notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
)
6259, 61sbcie 3314 . . . . 5  |-  ( [. ( y  i^i  z
)  /  x ].  -.  x  e.  Fin  <->  -.  ( y  i^i  z
)  e.  Fin )
6355, 58, 623imtr4g 272 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  y  C_  X  /\  z  C_  X )  ->  ( ( [. y  /  x ].  -.  x  e.  Fin  /\  [. z  /  x ].  -.  x  e.  Fin )  ->  [. (
y  i^i  z )  /  x ].  -.  x  e.  Fin ) )
647, 8, 13, 21, 34, 63isfild 20653 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
659adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  X  e.  Fin )
66 unfi 7823 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin )
67 ssun2 3609 . . . . . . . . 9  |-  X  C_  ( x  u.  X
)
68 undif2 3850 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  ( X  \  x ) )  =  ( x  u.  X
)
6967, 68sseqtr4i 3477 . . . . . . . 8  |-  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) )
70 ssfi 7777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  u.  ( X  \  x ) )  e.  Fin  /\  X  C_  ( x  u.  ( X  \  x ) ) )  ->  X  e.  Fin )
7166, 69, 70sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
7265, 71nsyl 123 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
73 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  Fin  /\  ( X  \  x
)  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
7472, 73sylib 198 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( -.  x  e.  Fin  \/ 
-.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
75 elpwi 3966 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
7675adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
776baib 906 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  X  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
7876, 77syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  <->  -.  x  e.  Fin ) )
791eleq2i 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  x )  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) )
80 difss 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  x )  C_  X
81 elpw2g 4559 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
8281adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
8380, 82mpbiri 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( X  \  x )  e. 
~P X )
84 eldif 3426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  ( ( X  \  x )  e. 
~P X  /\  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8584baib 906 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  x )  e.  ~P X  -> 
( ( X  \  x )  e.  ( ~P X  \  Fin ) 
<->  -.  ( X  \  x )  e.  Fin ) )
8683, 85syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  ( ~P X  \  Fin )  <->  -.  ( X  \  x
)  e.  Fin )
)
8779, 86syl5bb 259 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  <->  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) )
8878, 87orbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  <-> 
( -.  x  e. 
Fin  \/  -.  ( X  \  x )  e. 
Fin ) ) )
8974, 88mpbird 234 . . . 4  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  ~P X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9089ralrimiva 2820 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X 
\  x )  e.  F ) )
91 isufil 20698 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
9264, 90, 91sylanbrc 664 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
93 snfi 7636 . . . . 5  |-  { x }  e.  Fin
94 eldifn 3568 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  ( ~P X  \  Fin )  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9594, 1eleq2s 2512 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  F  ->  -.  { x }  e.  Fin )
9693, 95mt2 181 . . . 4  |-  -.  {
x }  e.  F
97 uffixsn 20720 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9892, 97sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  /\  x  e.  |^| F )  ->  { x }  e.  F )
9998ex 434 . . . 4  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( x  e.  |^| F  ->  { x }  e.  F ) )
10096, 99mtoi 180 . . 3  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  -.  x  e.  |^| F
)
101100eq0rdv 3776 . 2  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  ->  |^| F  =  (/) )
10292, 101jca 532 1  |-  ( X  e.  (FinIa  \  Fin )  -> 
( F  e.  (
UFil `  X )  /\  |^| F  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   [.wsbc 3279    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   |^|cint 4229   ` cfv 5571   Fincfn 7556  FinIacfin1a 8692   Filcfil 20640   UFilcufil 20694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fin1a 8699  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-fil 20641  df-ufil 20696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator