Theorem fin1aufil 21002

Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) X, the set of infinite subsets of X is a free ultrafilter on X. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1aufil.1	|- F = ( ~P X \ Fin )

Assertion

Ref	Expression
fin1aufil	|- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( F e. ( UFil ` X ) /\ |^| F = (/) ) )

Proof of Theorem fin1aufil

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1aufil.1	. . . . . . 7 |- F = ( ~P X \ Fin )
2	1	eleq2i 2532	. . . . . 6 |- ( x e. F <-> x e. ( ~P X \ Fin ) )
3		eldif 3426	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P X \ Fin ) <-> ( x e. ~P X /\ -. x e. Fin ) )
4		selpw 3970	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
5	4	anbi1i 706	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P X /\ -. x e. Fin ) <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) )
6	2, 3, 5	3bitri 279	. . . . 5 |- ( x e. F <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( x e. F <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) ) )
8		elex 3066	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> X e. _V )
9		eldifn 3568	. . . . 5 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. X e. Fin )
10		eleq1 2528	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( x e. Fin <-> X e. Fin ) )
11	10	notbid 300	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( -. x e. Fin <-> -. X e. Fin ) )
12	11	sbcieg 3312	. . . . 5 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( [. X / x ]. -. x e. Fin <-> -. X e. Fin ) )
13	9, 12	mpbird 240	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> [. X / x ]. -. x e. Fin )
14		0fin 7830	. . . . . 6 |- (/) e. Fin
15		0ex 4551	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
16		eleq1 2528	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
17	16	notbid 300	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( -. x e. Fin <-> -. (/) e. Fin ) )
18	15, 17	sbcie 3314	. . . . . . 7 |- ( [. (/) / x ]. -. x e. Fin <-> -. (/) e. Fin )
19	18	con2bii 338	. . . . . 6 |- ( (/) e. Fin <-> -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin )
20	14, 19	mpbi 213	. . . . 5 |- -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin )
22		ssfi 7823	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ z C_ y ) -> z e. Fin )
23	22	expcom 441	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( y e. Fin -> z e. Fin ) )
24	23	3ad2ant3 1037	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( y e. Fin -> z e. Fin ) )
25	24	con3d 140	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( -. z e. Fin -> -. y e. Fin ) )
26		vex 3060	. . . . . 6 |- z e. _V
27		eleq1 2528	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. Fin <-> z e. Fin ) )
28	27	notbid 300	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( -. x e. Fin <-> -. z e. Fin ) )
29	26, 28	sbcie 3314	. . . . 5 |- ( [. z / x ]. -. x e. Fin <-> -. z e. Fin )
30		vex 3060	. . . . . 6 |- y e. _V
31		eleq1 2528	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. Fin <-> y e. Fin ) )
32	31	notbid 300	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. Fin <-> -. y e. Fin ) )
33	30, 32	sbcie 3314	. . . . 5 |- ( [. y / x ]. -. x e. Fin <-> -. y e. Fin )
34	25, 29, 33	3imtr4g 278	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( [. z / x ]. -. x e. Fin -> [. y / x ]. -. x e. Fin ) )
35		eldifi 3567	. . . . . . . . 9 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> X e. FinIa )
36		fin1ai 8754	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. FinIa /\ y C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
37	35, 36	sylan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
38	37	3adant3 1034	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
39		inundif 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) = z
40		incom 3637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z i^i y ) = ( y i^i z )
41		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( y i^i z ) e. Fin )
42	40, 41	syl5eqel 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z i^i y ) e. Fin )
43		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( X \ y ) e. Fin )
44		simpl3 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> z C_ X )
45	44	ssdifd 3581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z \ y ) C_ ( X \ y ) )
46		ssfi 7823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X \ y ) e. Fin /\ ( z \ y ) C_ ( X \ y ) ) -> ( z \ y ) e. Fin )
47	43, 45, 46	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z \ y ) e. Fin )
48		unfi 7869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z i^i y ) e. Fin /\ ( z \ y ) e. Fin ) -> ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) e. Fin )
49	42, 47, 48	syl2anc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) e. Fin )
50	39, 49	syl5eqelr 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> z e. Fin )
51	50	expr 624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( y i^i z ) e. Fin ) -> ( ( X \ y ) e. Fin -> z e. Fin ) )
52	51	orim2d 856	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( y i^i z ) e. Fin ) -> ( ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) )
53	52	ex 440	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( y i^i z ) e. Fin -> ( ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) ) )
54	38, 53	mpid 42	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( y i^i z ) e. Fin -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) )
55	54	con3d 140	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) -> -. ( y i^i z ) e. Fin ) )
56	33, 29	anbi12i 708	. . . . . 6 |- ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) <-> ( -. y e. Fin /\ -. z e. Fin ) )
57		ioran 497	. . . . . 6 |- ( -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) <-> ( -. y e. Fin /\ -. z e. Fin ) )
58	56, 57	bitr4i 260	. . . . 5 |- ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) <-> -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) )
59	30	inex1 4560	. . . . . 6 |- ( y i^i z ) e. _V
60		eleq1 2528	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( x e. Fin <-> ( y i^i z ) e. Fin ) )
61	60	notbid 300	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( -. x e. Fin <-> -. ( y i^i z ) e. Fin ) )
62	59, 61	sbcie 3314	. . . . 5 |- ( [. ( y i^i z ) / x ]. -. x e. Fin <-> -. ( y i^i z ) e. Fin )
63	55, 58, 62	3imtr4g 278	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) -> [. ( y i^i z ) / x ]. -. x e. Fin ) )
64	7, 8, 13, 21, 34, 63	isfild 20928	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> F e. ( Fil ` X ) )
65	9	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> -. X e. Fin )
66		unfi 7869	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> ( x u. ( X \ x ) ) e. Fin )
67		ssun2 3610	. . . . . . . . 9 |- X C_ ( x u. X )
68		undif2 3855	. . . . . . . . 9 |- ( x u. ( X \ x ) ) = ( x u. X )
69	67, 68	sseqtr4i 3477	. . . . . . . 8 |- X C_ ( x u. ( X \ x ) )
70		ssfi 7823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x u. ( X \ x ) ) e. Fin /\ X C_ ( x u. ( X \ x ) ) ) -> X e. Fin )
71	66, 69, 70	sylancl 673	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> X e. Fin )
72	65, 71	nsyl 126	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> -. ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) )
73		ianor 495	. . . . . 6 |- ( -. ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) <-> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
74	72, 73	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
75		elpwi 3972	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
76	75	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
77	6	baib 919	. . . . . . 7 |- ( x C_ X -> ( x e. F <-> -. x e. Fin ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F <-> -. x e. Fin ) )
79	1	eleq2i 2532	. . . . . . 7 |- ( ( X \ x ) e. F <-> ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) )
80		difss 3572	. . . . . . . . 9 |- ( X \ x ) C_ X
81		elpw2g 4583	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) )
82	81	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) )
83	80, 82	mpbiri 241	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( X \ x ) e. ~P X )
84		eldif 3426	. . . . . . . . 9 |- ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> ( ( X \ x ) e. ~P X /\ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
85	84	baib 919	. . . . . . . 8 |- ( ( X \ x ) e. ~P X -> ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
86	83, 85	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
87	79, 86	syl5bb 265	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. F <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
88	78, 87	orbi12d 721	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) <-> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) ) )
89	74, 88	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
90	89	ralrimiva 2814	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
91		isufil 20973	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
92	64, 90, 91	sylanbrc 675	. 2 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> F e. ( UFil ` X ) )
93		snfi 7681	. . . . 5 |- { x } e. Fin
94		eldifn 3568	. . . . . 6 |- ( { x } e. ( ~P X \ Fin ) -> -. { x } e. Fin )
95	94, 1	eleq2s 2558	. . . . 5 |- ( { x } e. F -> -. { x } e. Fin )
96	93, 95	mt2 184	. . . 4 |- -. { x } e. F
97		uffixsn 20995	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x e. |^| F ) -> { x } e. F )
98	92, 97	sylan 478	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. |^| F ) -> { x } e. F )
99	98	ex 440	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( x e. |^| F -> { x } e. F ) )
100	96, 99	mtoi 183	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. x e. |^| F )
101	100	eq0rdv 3781	. 2 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> |^| F = (/) )
102	92, 101	jca 539	1 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( F e. ( UFil ` X ) /\ |^| F = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   [.wsbc 3279   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   |^|cint 4248   ` cfv 5605   Fincfn 7600  Fin^Iacfin1a 8739   Filcfil 20915   UFilcufil 20969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-fin 7604  df-fin1a 8746  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-fil 20916  df-ufil 20971

This theorem is referenced by: (None)