Theorem fin1a2lem10 9114

Description: Lemma for fin1a2 9120. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem10	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [⊊] Or 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fin1a2lem10

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqneqall 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)))
2		tru 1479	. . . . . 6 ⊢ ⊤
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ⊤)
4	1, 3	2thd 254	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ ⊤))
5		neeq1 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ≠ ∅))
6		soeq2 4979	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or 𝑏))
7		unieq 4380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝑏)
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
9	7, 8	eleq12d 2682	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
10	6, 9	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)))
11	5, 10	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))))
12		neeq1 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ≠ ∅ ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅))
13		soeq2 4979	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐})))
14		unieq 4380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ 𝑎 = ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
16	14, 15	eleq12d 2682	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
17	13, 16	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))))
18	12, 17	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
19		neeq1 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
20		soeq2 4979	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or 𝐴))
21		unieq 4380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝐴)
22		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
23	21, 22	eleq12d 2682	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
24	20, 23	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)))
25	19, 24	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))))
26		vex 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑐 ∈ V
27	26	unisn 4387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ {𝑐} = 𝑐
28		vsnid 4156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ {𝑐}
29	27, 28	eqeltri 2684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑐} ∈ {𝑐}
30		uneq1 3722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∅ ∪ {𝑐}))
31		uncom 3719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ ∅)
32		un0 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑐} ∪ ∅) = {𝑐}
33	31, 32	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ {𝑐}) = {𝑐}
34	30, 33	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
35	34	unieqd 4382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ∅ → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = ∪ {𝑐})
36	35, 34	eleq12d 2682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ ∪ {𝑐} ∈ {𝑐}))
37	29, 36	mpbiri 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ∅ → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
38	37	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
39	38	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 = ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
40		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ≠ ∅)
41		ssun1 3738	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
42		simpl2 1058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
43		soss 4977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → [⊊] Or 𝑏))
44	41, 42, 43	mpsyl 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [⊊] Or 𝑏)
45		uniun 4392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑐})
46	27	uneq2i 3726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑐)
47	45, 46	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑐)
48		simprr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)
49		simpl2 1058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
50		elun1 3742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
51	50	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
52		ssun2 3739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
53	52, 28	sselii 3565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
55		sorpssi 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))) → (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏))
56	49, 51, 54, 55	syl12anc 1316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏))
57		ssequn1 3745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ↔ (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐)
58	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
59		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐 → ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
60	58, 59	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
61	57, 60	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
62	61	impcom 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ ∪ 𝑏 ⊆ 𝑐) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
63		uncom 3719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = (𝑐 ∪ ∪ 𝑏)
64		ssequn1 3745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ⊆ ∪ 𝑏 ↔ (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏)
65		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏 → ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
66	50, 65	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
67	64, 66	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ⊆ ∪ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
68	67	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏) → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
69	63, 68	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
70	62, 69	jaodan 822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
71	48, 56, 70	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
72	47, 71	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
73	72	expr 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
74	44, 73	embantd 57	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
75	40, 74	embantd 57	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
76	39, 75	pm2.61dane 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
77	76	3exp 1256	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
78	77	com24 93	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
79	4, 11, 18, 25, 2, 78	findcard2 8085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)))
80	79	com12 32	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)))
81	80	3imp 1249	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [⊊] Or 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ cuni 4372   Or wor 4958   [⊊] crpss 6834  Fincfn 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-rpss 6835  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9115  pgpfac1lem5  18301