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Theorem fin1a2lem10 8837
Description: Lemma for fin1a2 8843. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqneqall 2638 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) ) )
2 tru 1441 . . . . . 6  |- T.
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  -> T.  )
41, 32thd 243 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <-> T.  )
)
5 neeq1 2712 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a  =/=  (/)  <->  b  =/=  (/) ) )
6 soeq2 4795 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( [ C.] 
Or  a  <-> [ C.]  Or  b
) )
7 unieq 4230 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
8 id 23 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
97, 8eleq12d 2511 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. b  e.  b ) )
106, 9imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a
)  <->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) )
115, 10imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) ) )
12 neeq1 2712 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  =/=  (/) 
<->  ( b  u.  {
c } )  =/=  (/) ) )
13 soeq2 4795 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  a  <-> [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } ) ) )
14 unieq 4230 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
c } ) )
15 id 23 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  a  =  ( b  u.  { c } ) )
1614, 15eleq12d 2511 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
1713, 16imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  (
b  u.  { c } )  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) ) ) )
1812, 17imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) ) ) )
19 neeq1 2712 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
20 soeq2 4795 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( [ C.] 
Or  a  <-> [ C.]  Or  A
) )
21 unieq 4230 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
22 id 23 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  a  =  A )
2321, 22eleq12d 2511 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. A  e.  A ) )
2420, 23imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a
)  <->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A
) ) )
2519, 24imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A
) ) ) )
26 vex 3090 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
2726unisn 4237 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
c }  =  c
28 ssnid 4031 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
{ c }
2927, 28eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
c }  e.  {
c }
30 uneq1 3619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  ( (/)  u. 
{ c } ) )
31 uncom 3616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  ( { c }  u.  (/) )
32 un0 3793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { c }  u.  (/) )  =  { c }
3331, 32eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  { c }
3430, 33syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  { c } )
3534unieqd 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  =  U. { c } )
3635, 34eleq12d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  ( U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. { c }  e.  { c } ) )
3729, 36mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
3837a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
3938adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
40 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  b  =/=  (/) )
41 ssun1 3635 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
42 simpl2 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  (
b  u.  { c } ) )
43 soss 4793 . . . . . . . . . 10  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  (
b  u.  { c } )  -> [ C.]  Or  b
) )
4441, 42, 43mpsyl 65 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  b
)
45 uniun 4241 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  U. { c } )
4627uneq2i 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. b  u.  U. { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
4745, 46eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
48 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  b )
49 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  -> [ C.]  Or  (
b  u.  { c } ) )
50 elun1 3639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  e.  b  ->  U. b  e.  ( b  u.  { c } ) )
5150ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) )
52 ssun2 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
5352, 28sselii 3467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e.  ( b  u.  {
c } )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) )
55 sorpssi 6591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( U. b  e.  ( b  u.  {
c } )  /\  c  e.  ( b  u.  { c } ) ) )  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b
) )
5649, 51, 54, 55syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_ 
U. b ) )
57 ssequn1 3642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. b  C_  c  <->  ( U. b  u.  c )  =  c )
5853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. b  e.  b  ->  c  e.  ( b  u. 
{ c } ) )
59 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } )  <->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6058, 59syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6157, 60sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  C_  c  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6261impcom 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  U. b  C_  c )  ->  ( U. b  u.  c
)  e.  ( b  u.  { c } ) )
63 uncom 3616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  u.  c )  =  ( c  u. 
U. b )
64 ssequn1 3642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c 
C_  U. b  <->  ( c  u.  U. b )  = 
U. b )
65 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( ( c  u. 
U. b )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6650, 65syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6764, 66sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6867impcom 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
6963, 68syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7062, 69jaodan 792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b ) )  -> 
( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7148, 56, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7247, 71syl5eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7372expr 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  ( U. b  e.  b  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
7444, 73embantd 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b
)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
7540, 74embantd 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
7639, 75pm2.61dane 2749 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.] 
Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
77763exp 1204 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( [ C.] 
Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) ) )
7877com24 90 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.] 
Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  (
b  u.  { c } )  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) ) ) ) )
794, 11, 18, 25, 2, 78findcard2 7817 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A
) ) )
8079com12 32 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A
) ) )
81803imp 1199 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1870    =/= wne 2625    u. cun 3440    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   U.cuni 4222    Or wor 4774   [ C.] crpss 6584   Fincfn 7577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-rpss 6585  df-om 6707  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  8838  pgpfac1lem5  17651
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