MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem10 Structured version   Unicode version

Theorem fin1a2lem10 8570
Description: Lemma for fin1a2 8576. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( -.  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  ->  a  =  (/) ) )
21necon1ad 2673 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) ) )
3 tru 1373 . . . . . 6  |- T.
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  -> T.  )
52, 42thd 240 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <-> T.  )
)
6 neeq1 2611 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a  =/=  (/)  <->  b  =/=  (/) ) )
7 soeq2 4656 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( [ C.]  Or  a  <-> [ C.]  Or  b
) )
8 unieq 4094 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
9 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
108, 9eleq12d 2506 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. b  e.  b ) )
117, 10imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) )
126, 11imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) ) )
13 neeq1 2611 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  =/=  (/) 
<->  ( b  u.  {
c } )  =/=  (/) ) )
14 soeq2 4656 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  a 
<-> [
C.]  Or  ( b  u.  { c } ) ) )
15 unieq 4094 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
c } ) )
16 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  a  =  ( b  u.  { c } ) )
1715, 16eleq12d 2506 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) )
1913, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) ) ) )
20 neeq1 2611 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
21 soeq2 4656 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( [ C.]  Or  a  <-> [ C.]  Or  A
) )
22 unieq 4094 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
23 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  a  =  A )
2422, 23eleq12d 2506 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. A  e.  A ) )
2521, 24imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A
) ) )
2620, 25imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) ) )
27 vex 2970 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
2827unisn 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
c }  =  c
29 ssnid 3901 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
{ c }
3028, 29eqeltri 2508 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
c }  e.  {
c }
31 uneq1 3498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  ( (/)  u. 
{ c } ) )
32 uncom 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  ( { c }  u.  (/) )
33 un0 3657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { c }  u.  (/) )  =  { c }
3432, 33eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  { c }
3531, 34syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  { c } )
3635unieqd 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  =  U. { c } )
3736, 35eleq12d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  ( U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. { c }  e.  { c } ) )
3830, 37mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
3938a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
41 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  b  =/=  (/) )
42 ssun1 3514 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
43 simpl2 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } ) )
44 soss 4654 . . . . . . . . . 10  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  -> [ C.]  Or  b ) )
4542, 43, 44mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  b )
46 uniun 4105 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  U. { c } )
4728uneq2i 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. b  u.  U. { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
4846, 47eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
49 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  b )
50 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  -> [ C.]  Or  (
b  u.  { c } ) )
51 elun1 3518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  e.  b  ->  U. b  e.  ( b  u.  { c } ) )
5251ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) )
53 ssun2 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
5453, 29sselii 3348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e.  ( b  u.  {
c } )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) )
56 sorpssi 6361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( U. b  e.  ( b  u.  {
c } )  /\  c  e.  ( b  u.  { c } ) ) )  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b
) )
5750, 52, 55, 56syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_ 
U. b ) )
58 ssequn1 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. b  C_  c  <->  ( U. b  u.  c )  =  c )
5954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. b  e.  b  ->  c  e.  ( b  u. 
{ c } ) )
60 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } )  <->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6159, 60syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6258, 61sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  C_  c  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6362impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  U. b  C_  c )  ->  ( U. b  u.  c
)  e.  ( b  u.  { c } ) )
64 uncom 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  u.  c )  =  ( c  u. 
U. b )
65 ssequn1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c 
C_  U. b  <->  ( c  u.  U. b )  = 
U. b )
66 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( ( c  u. 
U. b )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6751, 66syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6865, 67sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6968impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7064, 69syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7163, 70jaodan 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b ) )  -> 
( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7249, 57, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7348, 72syl5eqel 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7473expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  ( U. b  e.  b  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
7545, 74embantd 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b )  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
7641, 75embantd 54 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
7740, 76pm2.61dane 2684 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.] 
Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
78773exp 1186 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) ) )
7978com24 87 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) ) )
805, 12, 19, 26, 3, 79findcard2 7544 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) )
8180com12 31 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) )
82813imp 1181 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2601    u. cun 3321    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   U.cuni 4086    Or wor 4635   [ C.] crpss 6354   Fincfn 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-rpss 6355  df-om 6472  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  8571  pgpfac1lem5  16568
  Copyright terms: Public domain W3C validator