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Theorem fin1a2lem10 8682
Description: Lemma for fin1a2 8688. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( -.  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  ->  a  =  (/) ) )
21necon1ad 2664 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) ) )
3 tru 1374 . . . . . 6  |- T.
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  -> T.  )
52, 42thd 240 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <-> T.  )
)
6 neeq1 2729 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a  =/=  (/)  <->  b  =/=  (/) ) )
7 soeq2 4762 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( [ C.]  Or  a  <-> [ C.]  Or  b
) )
8 unieq 4200 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
9 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
108, 9eleq12d 2533 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. b  e.  b ) )
117, 10imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) )
126, 11imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) ) )
13 neeq1 2729 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  =/=  (/) 
<->  ( b  u.  {
c } )  =/=  (/) ) )
14 soeq2 4762 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  a 
<-> [
C.]  Or  ( b  u.  { c } ) ) )
15 unieq 4200 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
c } ) )
16 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  a  =  ( b  u.  { c } ) )
1715, 16eleq12d 2533 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) )
1913, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) ) ) )
20 neeq1 2729 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
21 soeq2 4762 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( [ C.]  Or  a  <-> [ C.]  Or  A
) )
22 unieq 4200 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
23 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  a  =  A )
2422, 23eleq12d 2533 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. A  e.  A ) )
2521, 24imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A
) ) )
2620, 25imbi12d 320 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) ) )
27 vex 3074 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
2827unisn 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
c }  =  c
29 ssnid 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
{ c }
3028, 29eqeltri 2535 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
c }  e.  {
c }
31 uneq1 3604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  ( (/)  u. 
{ c } ) )
32 uncom 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  ( { c }  u.  (/) )
33 un0 3763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { c }  u.  (/) )  =  { c }
3432, 33eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  { c }
3531, 34syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  { c } )
3635unieqd 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  =  U. { c } )
3736, 35eleq12d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  ( U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. { c }  e.  { c } ) )
3830, 37mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
3938a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
41 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  b  =/=  (/) )
42 ssun1 3620 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
43 simpl2 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } ) )
44 soss 4760 . . . . . . . . . 10  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  -> [ C.]  Or  b ) )
4542, 43, 44mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  b )
46 uniun 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  U. { c } )
4728uneq2i 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. b  u.  U. { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
4846, 47eqtri 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
49 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  b )
50 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  -> [ C.]  Or  (
b  u.  { c } ) )
51 elun1 3624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  e.  b  ->  U. b  e.  ( b  u.  { c } ) )
5251ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) )
53 ssun2 3621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
5453, 29sselii 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e.  ( b  u.  {
c } )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) )
56 sorpssi 6469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( U. b  e.  ( b  u.  {
c } )  /\  c  e.  ( b  u.  { c } ) ) )  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b
) )
5750, 52, 55, 56syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_ 
U. b ) )
58 ssequn1 3627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. b  C_  c  <->  ( U. b  u.  c )  =  c )
5954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. b  e.  b  ->  c  e.  ( b  u. 
{ c } ) )
60 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } )  <->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6159, 60syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6258, 61sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  C_  c  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6362impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  U. b  C_  c )  ->  ( U. b  u.  c
)  e.  ( b  u.  { c } ) )
64 uncom 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  u.  c )  =  ( c  u. 
U. b )
65 ssequn1 3627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c 
C_  U. b  <->  ( c  u.  U. b )  = 
U. b )
66 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( ( c  u. 
U. b )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6751, 66syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6865, 67sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6968impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7064, 69syl5eqel 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7163, 70jaodan 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b ) )  -> 
( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7249, 57, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7348, 72syl5eqel 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7473expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  ( U. b  e.  b  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
7545, 74embantd 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b )  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
7641, 75embantd 54 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
7740, 76pm2.61dane 2766 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.] 
Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
78773exp 1187 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) ) )
7978com24 87 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) ) )
805, 12, 19, 26, 3, 79findcard2 7656 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) )
8180com12 31 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) )
82813imp 1182 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2644    u. cun 3427    C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978   U.cuni 4192    Or wor 4741   [ C.] crpss 6462   Fincfn 7413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-rpss 6463  df-om 6580  df-1o 7023  df-er 7204  df-en 7414  df-fin 7417
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  8683  pgpfac1lem5  16694
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