Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin17 9099
 Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin17
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3550 . . . . 5 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2 enfi 8061 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ Fin))
3 onfin 8036 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ On → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
42, 3sylan9bbr 733 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
54biimpd 218 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑏 ∈ ω))
65con3d 147 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (¬ 𝑏 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
76impancom 455 . . . . 5 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
81, 7sylbi 206 . . . 4 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
98rexlimiv 3009 . . 3 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
109con2i 133 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
11 isfin7 9006 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
1210, 11mpbird 246 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  Oncon0 5640  ωcom 6957   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  FinVIIcfin7 8989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fin7 8996 This theorem is referenced by:  fin67  9100  isfin7-2  9101
 Copyright terms: Public domain W3C validator