Theorem fin56 9098

Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin56	⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
2		sdom2en01 9007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2𝑜 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
3	1, 2	sylibr 223	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2𝑜)
4	3	orcd 406	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5		onfin2 8037	. . . . . . . 8 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 3796	. . . . . . . 8 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3598	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ Fin
8		2onn 7607	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
9	7, 8	sselii 3565	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
10		relsdom 7848	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelexi 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		fidomtri 8702	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
13	9, 11, 12	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
14		xp2cda 8885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
17		xpdom2g 7941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18	11, 17	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	16, 18	eqbrtrrd 4607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		sdomdomtr 7978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
21	19, 20	syldan 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
22	21	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜 ≼ 𝐴 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
23	13, 22	sylbird 249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2𝑜 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24	23	orrd 392	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
25	4, 24	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26		isfin5 9004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
27		isfin6 9005	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
28	25, 26, 27	3imtr4i 280	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Oncon0 5640  (class class class)co 6549  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841   +_𝑐 ccda 8872  Fin^Vcfin5 8987  Fin^VIcfin6 8988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-fin5 8994  df-fin6 8995

This theorem is referenced by:  fin2so  32566