Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 9098
 Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 399 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
2 sdom2en01 9007 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2𝑜 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
31, 2sylibr 223 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2𝑜)
43orcd 406 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 8037 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 3796 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 3598 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 7607 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
97, 8sselii 3565 . . . . . 6 2𝑜 ∈ Fin
10 relsdom 7848 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelexi 5082 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 8702 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
139, 11, 12sylancr 694 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
14 xp2cda 8885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
17 xpdom2g 7941 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1811, 17sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1916, 18eqbrtrrd 4607 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20 sdomdomtr 7978 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2119, 20syldan 486 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2221ex 449 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2313, 22sylbird 249 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2423orrd 392 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
254, 24jaoi 393 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26 isfin5 9004 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
27 isfin6 9005 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2825, 26, 273imtr4i 280 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Oncon0 5640  (class class class)co 6549  ωcom 6957  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841   +𝑐 ccda 8872  FinVcfin5 8987  FinVIcfin6 8988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-fin5 8994  df-fin6 8995 This theorem is referenced by:  fin2so  32566
 Copyright terms: Public domain W3C validator