Theorem fin17 8842

Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin17	|- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin17

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3400	. . . . 5 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
2		enfi 7806	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( A e. Fin <-> b e. Fin ) )
3		onfin 7781	. . . . . . . . 9 |- ( b e. On -> ( b e. Fin <-> b e. om ) )
4	2, 3	sylan9bbr 715	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin <-> b e. om ) )
5	4	biimpd 212	. . . . . . 7 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin -> b e. om ) )
6	5	con3d 140	. . . . . 6 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( -. b e. om -> -. A e. Fin ) )
7	6	impancom 447	. . . . 5 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
8	1, 7	sylbi 200	. . . 4 |- ( b e. ( On \ om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
9	8	rexlimiv 2867	. . 3 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> -. A e. Fin )
10	9	con2i 124	. 2 |- ( A e. Fin -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
11		isfin7 8749	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
12	10, 11	mpbird 240	1 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   e. wcel 1904   E.wrex 2757   \ cdif 3387   class class class wbr 4395   Oncon0 5430   omcom 6711   ~~ cen 7584   Fincfn 7587  Fin^VIIcfin7 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fin7 8739

This theorem is referenced by:  fin67  8843  isfin7-2  8844