Theorem fin17 8763

Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin17	|- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin17

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3479	. . . . 5 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
2		enfi 7726	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( A e. Fin <-> b e. Fin ) )
3		onfin 7698	. . . . . . . . 9 |- ( b e. On -> ( b e. Fin <-> b e. om ) )
4	2, 3	sylan9bbr 700	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin <-> b e. om ) )
5	4	biimpd 207	. . . . . . 7 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin -> b e. om ) )
6	5	con3d 133	. . . . . 6 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( -. b e. om -> -. A e. Fin ) )
7	6	impancom 440	. . . . 5 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
8	1, 7	sylbi 195	. . . 4 |- ( b e. ( On \ om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
9	8	rexlimiv 2942	. . 3 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> -. A e. Fin )
10	9	con2i 120	. 2 |- ( A e. Fin -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
11		isfin7 8670	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
12	10, 11	mpbird 232	1 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1762   E.wrex 2808   \ cdif 3466   class class class wbr 4440   Oncon0 4871   omcom 6671   ~~ cen 7503   Fincfn 7506  Fin^VIIcfin7 8653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fin7 8660

This theorem is referenced by:  fin67  8764  isfin7-2  8765