MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fin17 8842
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin17
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3400 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
2 enfi 7806 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  ( A  e.  Fin  <->  b  e.  Fin ) )
3 onfin 7781 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  (
b  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
42, 3sylan9bbr 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
54biimpd 212 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  ->  b  e.  om )
)
65con3d 140 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( -.  b  e. 
om  ->  -.  A  e.  Fin ) )
76impancom 447 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  ( A  ~~  b  ->  -.  A  e.  Fin ) )
81, 7sylbi 200 . . . 4  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  ( A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
)
98rexlimiv 2867 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
109con2i 124 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  -.  E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b )
11 isfin7 8749 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
1210, 11mpbird 240 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    e. wcel 1904   E.wrex 2757    \ cdif 3387   class class class wbr 4395   Oncon0 5430   omcom 6711    ~~ cen 7584   Fincfn 7587  FinVIIcfin7 8732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fin7 8739
This theorem is referenced by:  fin67  8843  isfin7-2  8844
  Copyright terms: Public domain W3C validator