Theorem fin17 8806

Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin17	|- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin17

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3424	. . . . 5 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
2		enfi 7771	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( A e. Fin <-> b e. Fin ) )
3		onfin 7746	. . . . . . . . 9 |- ( b e. On -> ( b e. Fin <-> b e. om ) )
4	2, 3	sylan9bbr 699	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin <-> b e. om ) )
5	4	biimpd 207	. . . . . . 7 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin -> b e. om ) )
6	5	con3d 133	. . . . . 6 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( -. b e. om -> -. A e. Fin ) )
7	6	impancom 438	. . . . 5 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
8	1, 7	sylbi 195	. . . 4 |- ( b e. ( On \ om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
9	8	rexlimiv 2890	. . 3 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> -. A e. Fin )
10	9	con2i 120	. 2 |- ( A e. Fin -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
11		isfin7 8713	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
12	10, 11	mpbird 232	1 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1842   E.wrex 2755   \ cdif 3411   class class class wbr 4395   Oncon0 5410   omcom 6683   ~~ cen 7551   Fincfn 7554  Fin^VIIcfin7 8696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fin7 8703

This theorem is referenced by:  fin67  8807  isfin7-2  8808