MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Unicode version

Theorem fin17 8667
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin17
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3439 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
2 enfi 7633 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  ( A  e.  Fin  <->  b  e.  Fin ) )
3 onfin 7605 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  (
b  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
42, 3sylan9bbr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
54biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  ->  b  e.  om )
)
65con3d 133 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( -.  b  e. 
om  ->  -.  A  e.  Fin ) )
76impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  ( A  ~~  b  ->  -.  A  e.  Fin ) )
81, 7sylbi 195 . . . 4  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  ( A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
)
98rexlimiv 2934 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
109con2i 120 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  -.  E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b )
11 isfin7 8574 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
1210, 11mpbird 232 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   E.wrex 2796    \ cdif 3426   class class class wbr 4393   Oncon0 4820   omcom 6579    ~~ cen 7410   Fincfn 7413  FinVIIcfin7 8557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fin7 8564
This theorem is referenced by:  fin67  8668  isfin7-2  8669
  Copyright terms: Public domain W3C validator