MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Unicode version

Theorem fin17 8555
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin17
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3333 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
2 enfi 7521 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  ( A  e.  Fin  <->  b  e.  Fin ) )
3 onfin 7493 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  (
b  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
42, 3sylan9bbr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
54biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  ->  b  e.  om )
)
65con3d 133 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( -.  b  e. 
om  ->  -.  A  e.  Fin ) )
76impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  ( A  ~~  b  ->  -.  A  e.  Fin ) )
81, 7sylbi 195 . . . 4  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  ( A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
)
98rexlimiv 2830 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
109con2i 120 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  -.  E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b )
11 isfin7 8462 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
1210, 11mpbird 232 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    \ cdif 3320   class class class wbr 4287   Oncon0 4714   omcom 6471    ~~ cen 7299   Fincfn 7302  FinVIIcfin7 8445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fin7 8452
This theorem is referenced by:  fin67  8556  isfin7-2  8557
  Copyright terms: Public domain W3C validator