Theorem fin17 8555

Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin17	|- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin17

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3333	. . . . 5 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
2		enfi 7521	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( A e. Fin <-> b e. Fin ) )
3		onfin 7493	. . . . . . . . 9 |- ( b e. On -> ( b e. Fin <-> b e. om ) )
4	2, 3	sylan9bbr 700	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin <-> b e. om ) )
5	4	biimpd 207	. . . . . . 7 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin -> b e. om ) )
6	5	con3d 133	. . . . . 6 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( -. b e. om -> -. A e. Fin ) )
7	6	impancom 440	. . . . 5 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
8	1, 7	sylbi 195	. . . 4 |- ( b e. ( On \ om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
9	8	rexlimiv 2830	. . 3 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> -. A e. Fin )
10	9	con2i 120	. 2 |- ( A e. Fin -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
11		isfin7 8462	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
12	10, 11	mpbird 232	1 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   \ cdif 3320   class class class wbr 4287   Oncon0 4714   omcom 6471   ~~ cen 7299   Fincfn 7302  Fin^VIIcfin7 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fin7 8452

This theorem is referenced by:  fin67  8556  isfin7-2  8557