Theorem fin17 8667

Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin17	|- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin17

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3439	. . . . 5 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
2		enfi 7633	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( A e. Fin <-> b e. Fin ) )
3		onfin 7605	. . . . . . . . 9 |- ( b e. On -> ( b e. Fin <-> b e. om ) )
4	2, 3	sylan9bbr 700	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin <-> b e. om ) )
5	4	biimpd 207	. . . . . . 7 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( A e. Fin -> b e. om ) )
6	5	con3d 133	. . . . . 6 |- ( ( b e. On /\ A ~~ b ) -> ( -. b e. om -> -. A e. Fin ) )
7	6	impancom 440	. . . . 5 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
8	1, 7	sylbi 195	. . . 4 |- ( b e. ( On \ om ) -> ( A ~~ b -> -. A e. Fin ) )
9	8	rexlimiv 2934	. . 3 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> -. A e. Fin )
10	9	con2i 120	. 2 |- ( A e. Fin -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
11		isfin7 8574	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
12	10, 11	mpbird 232	1 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   E.wrex 2796   \ cdif 3426   class class class wbr 4393   Oncon0 4820   omcom 6579   ~~ cen 7410   Fincfn 7413  Fin^VIIcfin7 8557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fin7 8564

This theorem is referenced by:  fin67  8668  isfin7-2  8669