MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Unicode version

Theorem fin17 8763
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin17
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3479 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
2 enfi 7726 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  ( A  e.  Fin  <->  b  e.  Fin ) )
3 onfin 7698 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  (
b  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
42, 3sylan9bbr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
54biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  ->  b  e.  om )
)
65con3d 133 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( -.  b  e. 
om  ->  -.  A  e.  Fin ) )
76impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  ( A  ~~  b  ->  -.  A  e.  Fin ) )
81, 7sylbi 195 . . . 4  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  ( A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
)
98rexlimiv 2942 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
109con2i 120 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  -.  E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b )
11 isfin7 8670 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
1210, 11mpbird 232 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   E.wrex 2808    \ cdif 3466   class class class wbr 4440   Oncon0 4871   omcom 6671    ~~ cen 7503   Fincfn 7506  FinVIIcfin7 8653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fin7 8660
This theorem is referenced by:  fin67  8764  isfin7-2  8765
  Copyright terms: Public domain W3C validator