Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomtri 8702
 Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem fidomtri
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7971 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2 finnum 8657 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ dom card)
4 finnum 8657 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
5 domtri2 8698 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2an 493 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
76biimprd 237 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
8 isinffi 8701 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
98ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
109adantlr 747 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵)
11 brdomg 7851 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1211ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑎 𝑎:𝐴1-1𝐵))
1310, 12mpbird 246 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
1413a1d 25 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
157, 14pm2.61dan 828 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
161, 15impbid2 215 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  –1-1→wf1 5801   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841  cardccrd 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648 This theorem is referenced by:  fidomtri2  8703  fin56  9098  hauspwdom  21114  harinf  36619
 Copyright terms: Public domain W3C validator