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Theorem f1otrg 25551

Description: A bijection between bases which conserves distances and intervals conserves also geometries. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
f1otrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
f1otrkg.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
f1otrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
f1otrkg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
f1otrkg.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
f1otrkg.j	⊢ 𝐽 = (Itv‘𝐻)
f1otrkg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
f1otrkg.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
f1otrkg.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
f1otrg.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
f1otrg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
f1otrg.l	⊢ (𝜑 → (LineG‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐽𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))}))

**Assertion**
Ref	Expression
f1otrg	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG)

Distinct variable groups: 𝑒,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵 𝐷,𝑒,𝑓,𝑔 𝑒,𝐸,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧 𝑒,𝐹,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧 𝑒,𝐼,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦 𝑒,𝐽,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧 𝑃,𝑒,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧 𝜑,𝑒,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧 𝑓,𝐻 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑓,𝑔) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑔) 𝐼(𝑧) 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem f1otrg Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑖 𝑝 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1otrg.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
2		elex 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐻 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
4		f1otrkg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		f1otrkg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
6		f1otrkg.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7		f1otrg.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		f1otrkg.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
10		f1of 6050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
13		simprl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	12, 13	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃)
15		simprr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16	12, 15	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃)
17	4, 5, 6, 8, 14, 16	axtgcgrrflx 25161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑥)))
18		f1otrkg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
19		f1otrkg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
20		f1otrkg.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (Itv‘𝐻)
21	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
22		f1otrkg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
23	22	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
24		f1otrkg.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
25	24	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
26	4, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 13, 15	f1otrgds 25549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐸𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)))
27	4, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 15, 13	f1otrgds 25549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦𝐸𝑥) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑥)))
28	17, 26, 27	3eqtr4d 2654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥))
29	28	ralrimivva 2954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥))
30		f1of1 6049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 → 𝐹:𝐵–1-1→𝑃)
31	9, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→𝑃)
32	31	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐹:𝐵–1-1→𝑃)
33		simp21 1087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		simp22 1088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	33, 34	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
36	7	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	11	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
38	37, 33	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃)
39	37, 34	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃)
40		simp23 1089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
41	37, 40	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑃)
42		simp3 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧))
43	9	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
44	22	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
45	24	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
46	4, 5, 6, 18, 19, 20, 43, 44, 45, 33, 34	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑥𝐸𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)))
47	4, 5, 6, 18, 19, 20, 43, 44, 45, 40, 40	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑧𝐸𝑧) = ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑧)))
48	42, 46, 47	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑧)))
49	4, 5, 6, 36, 38, 39, 41, 48	axtgcgrid 25162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
50		f1veqaeq 6418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝑃 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
51	50	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐵–1-1→𝑃 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
52	32, 35, 49, 51	syl21anc 1317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑥 = 𝑦)
53	52	3expia 1259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
54	53	ralrimivvva 2955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
55	29, 54	jca 553	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
56	18, 19, 20	istrkgc 25153	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ TarskiG_C ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦))))
57	3, 55, 56	sylanbrc 695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG_C)
58	9	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
59	58, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝐹:𝐵–1-1→𝑃)
60		simp2 1055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
61	7	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
62	14	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃)
63	16	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃)
64		simp3 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥))
65	22	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
66	24	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
67	13	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
68	15	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69	4, 5, 6, 18, 19, 20, 58, 65, 66, 67, 67, 68	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑥))))
70	64, 69	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑥)))
71	4, 5, 6, 61, 62, 63, 70	axtgbtwnid 25165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
72	59, 60, 71, 51	syl21anc 1317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑥 = 𝑦)
73	72	3expia 1259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
74	73	ralrimivva 2954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
75		f1ocnv 6062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 → ^◡𝐹:𝑃–1-1-onto→𝐵)
76		f1of 6050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (^◡𝐹:𝑃–1-1-onto→𝐵 → ^◡𝐹:𝑃⟶𝐵)
77	9, 75, 76	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ^◡𝐹:𝑃⟶𝐵)
78	77	ad5antr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → ^◡𝐹:𝑃⟶𝐵)
79		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
80	78, 79	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → (^◡𝐹‘𝑐) ∈ 𝐵)
81		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ 𝑎 = (^◡𝐹‘𝑐)) → 𝑎 = (^◡𝐹‘𝑐))
82	81	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ 𝑎 = (^◡𝐹‘𝑐)) → (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ↔ (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦)))
83	81	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ 𝑎 = (^◡𝐹‘𝑐)) → (𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥) ↔ (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
84	82, 83	anbi12d 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ 𝑎 = (^◡𝐹‘𝑐)) → ((𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥)) ↔ ((^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
85		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)))
86	21	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
87	86	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
88		f1ocnvfv2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) = 𝑐)
89	88	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦))))
90	87, 79, 89	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → ((𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦))))
91	85, 90	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)))
92		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
93		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
94	93, 23	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
95	92, 94	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
96		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
97		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
98	97, 25	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
99	96, 98	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
100		simplr2 1097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑢 ∈ 𝐵)
101	100	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝑢 ∈ 𝐵)
102	15	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
103	102	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
104	4, 5, 6, 18, 19, 20, 87, 95, 99, 101, 103, 80	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → ((^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦) ↔ (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦))))
105	91, 104	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦))
106		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))
107	88	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥))))
108	87, 79, 107	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → ((𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥))))
109	106, 108	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))
110		simplr3 1098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑣 ∈ 𝐵)
111	110	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝑣 ∈ 𝐵)
112	13	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
113	112	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
114	4, 5, 6, 18, 19, 20, 87, 95, 99, 111, 113, 80	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → ((^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥) ↔ (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥))))
115	109, 114	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥))
116	105, 115	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → ((^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
117	80, 84, 116	rspcedvd 3289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥)))) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
118	8	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
119	12	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
120	119, 112	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃)
121	119, 102	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃)
122		simplr1 1096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
123	119, 122	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑃)
124	119, 100	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹‘𝑢) ∈ 𝑃)
125	119, 110	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑃)
126		simprl 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧))
127	4, 5, 6, 18, 19, 20, 86, 94, 98, 112, 122, 100	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ↔ (𝐹‘𝑢) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑧))))
128	126, 127	mpbid 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹‘𝑢) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑧)))
129		simprr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
130	4, 5, 6, 18, 19, 20, 86, 94, 98, 102, 122, 110	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↔ (𝐹‘𝑣) ∈ ((𝐹‘𝑦)𝐼(𝐹‘𝑧))))
131	129, 130	mpbid 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹‘𝑣) ∈ ((𝐹‘𝑦)𝐼(𝐹‘𝑧)))
132	4, 5, 6, 118, 120, 121, 123, 124, 125, 128, 131	axtgpasch 25166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑢)𝐼(𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑣)𝐼(𝐹‘𝑥))))
133	117, 132	r19.29a 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
134	133	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
135	134	ralrimivvva 2955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
136	135	ralrimivva 2954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
137	9	ad5antr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
138		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
139	137, 138, 88	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) = 𝑐)
140		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝑃 → 𝐹 Fn 𝐵)
141	137, 10, 140	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝐹 Fn 𝐵)
142		simp-4r 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵))
143	142	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
144	143	elpwid 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
145	144	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
146		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝑠)
147		fnfvima 6400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ 𝑠))
148	141, 145, 146, 147	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ 𝑠))
149	142	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
150	149	elpwid 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
151	150	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
152		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑦 ∈ 𝑡)
153		fnfvima 6400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑡))
154	141, 151, 152, 153	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑡))
155		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓))
156		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝐹‘𝑥) → (𝑒𝐼𝑓) = ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑓))
157	156	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝐹‘𝑥) → (𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑓)))
158		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑓) = ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑦)))
159	158	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = (𝐹‘𝑦) → (𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑓) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑦))))
160	157, 159	rspc2va 3294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ 𝑠) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑡)) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑦)))
161	148, 154, 155, 160	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑐 ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑦)))
162	139, 161	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑦)))
163	9	ad4antr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
164		simp-5l 804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
165	164, 22	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
166		simp-5l 804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
167	166, 24	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
168		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝑠)
169	144, 168	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
170		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑦 ∈ 𝑡)
171	150, 170	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
172	77	ad4antr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → ^◡𝐹:𝑃⟶𝐵)
173		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
174	172, 173	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑐) ∈ 𝐵)
175	4, 5, 6, 18, 19, 20, 163, 165, 167, 169, 171, 174	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → ((^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑦))))
176	175	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → ((^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑦))))
177	162, 176	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦))
178	177	ralrimivva 2954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦))
179	178	adantllr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦))
180	77	ad4antr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ^◡𝐹:𝑃⟶𝐵)
181		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃)
182	180, 181	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (^◡𝐹‘𝑐) ∈ 𝐵)
183		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (^◡𝐹‘𝑐) → (𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
184	183	2ralbidv 2972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (^◡𝐹‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
185	184	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (^◡𝐹‘𝑐)) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
186	182, 185	rspcedv 3286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
187	186	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → (∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (^◡𝐹‘𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
188	179, 187	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
189	7	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
190		imassrn 5396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ 𝑠) ⊆ ran 𝐹
191		f1ofo 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 → 𝐹:𝐵–onto→𝑃)
192		forn 6031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→𝑃 → ran 𝐹 = 𝑃)
193	9, 191, 192	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑃)
194	193	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ran 𝐹 = 𝑃)
195	190, 194	syl5sseq 3616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑃)
196		imassrn 5396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ 𝑡) ⊆ ran 𝐹
197	196, 194	syl5sseq 3616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (𝐹 “ 𝑡) ⊆ 𝑃)
198	11	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
199		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
200	198, 199	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑃)
201	9	ad5antr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
202		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (^◡𝐹:𝑃⟶𝐵 → ^◡𝐹 Fn 𝑃)
203	201, 75, 76, 202	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → ^◡𝐹 Fn 𝑃)
204	195	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑃)
205		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠))
206		fnfvima 6400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((^◡𝐹 Fn 𝑃 ∧ (𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑃 ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) → (^◡𝐹‘𝑢) ∈ (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑠)))
207	203, 204, 205, 206	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑢) ∈ (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑠)))
208	201, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝐹:𝐵–1-1→𝑃)
209		simp-5r 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵))
210	209	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
211	210	elpwid 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
212		f1imacnv 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝑃 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵) → (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑠)) = 𝑠)
213	208, 211, 212	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑠)) = 𝑠)
214	207, 213	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑢) ∈ 𝑠)
215	197	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (𝐹 “ 𝑡) ⊆ 𝑃)
216		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡))
217		fnfvima 6400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((^◡𝐹 Fn 𝑃 ∧ (𝐹 “ 𝑡) ⊆ 𝑃 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑣) ∈ (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑡)))
218	203, 215, 216, 217	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑣) ∈ (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑡)))
219	209	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
220	219	elpwid 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
221		f1imacnv 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝑃 ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵) → (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑡)) = 𝑡)
222	208, 220, 221	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝑡)) = 𝑡)
223	218, 222	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑣) ∈ 𝑡)
224		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦))
225		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (^◡𝐹‘𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) ↔ (^◡𝐹‘𝑢) ∈ (𝑎𝐽𝑦)))
226		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (^◡𝐹‘𝑣) → (𝑎𝐽𝑦) = (𝑎𝐽(^◡𝐹‘𝑣)))
227	226	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (^◡𝐹‘𝑣) → ((^◡𝐹‘𝑢) ∈ (𝑎𝐽𝑦) ↔ (^◡𝐹‘𝑢) ∈ (𝑎𝐽(^◡𝐹‘𝑣))))
228	225, 227	rspc2va 3294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((^◡𝐹‘𝑢) ∈ 𝑠 ∧ (^◡𝐹‘𝑣) ∈ 𝑡) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (^◡𝐹‘𝑢) ∈ (𝑎𝐽(^◡𝐹‘𝑣)))
229	214, 223, 224, 228	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑢) ∈ (𝑎𝐽(^◡𝐹‘𝑣)))
230		simp-6l 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
231	230, 22	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
232		simp-6l 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
233	232, 24	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
234		simp-4r 803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
235	215, 216	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
236		f1ocnvdm 6440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (^◡𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
237	201, 235, 236	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
238	204, 205	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑢 ∈ 𝑃)
239		f1ocnvdm 6440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) → (^◡𝐹‘𝑢) ∈ 𝐵)
240	201, 238, 239	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (^◡𝐹‘𝑢) ∈ 𝐵)
241	4, 5, 6, 18, 19, 20, 201, 231, 233, 234, 237, 240	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → ((^◡𝐹‘𝑢) ∈ (𝑎𝐽(^◡𝐹‘𝑣)) ↔ (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑢)) ∈ ((𝐹‘𝑎)𝐼(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑣)))))
242	229, 241	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑢)) ∈ ((𝐹‘𝑎)𝐼(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑣))))
243		f1ocnvfv2 6433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑢)) = 𝑢)
244	201, 238, 243	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑢)) = 𝑢)
245		f1ocnvfv2 6433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑣)) = 𝑣)
246	201, 235, 245	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑣)) = 𝑣)
247	246	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → ((𝐹‘𝑎)𝐼(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑣))) = ((𝐹‘𝑎)𝐼𝑣))
248	242, 244, 247	3eltr3d 2702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑢 ∈ ((𝐹‘𝑎)𝐼𝑣))
249	248	3impa 1251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 “ 𝑠) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹 “ 𝑡)) → 𝑢 ∈ ((𝐹‘𝑎)𝐼𝑣))
250	4, 5, 6, 189, 195, 197, 200, 249	axtgcont 25168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑒 ∈ (𝐹 “ 𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹 “ 𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓))
251	188, 250	r19.29a 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
252	251	r19.29an 3059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
253	252	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
254	253	ralrimivva 2954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
255	74, 136, 254	3jca 1235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))))
256	18, 19, 20	istrkgb 25154	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ TarskiG_B ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))))
257	3, 255, 256	sylanbrc 695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG_B)
258	57, 257	elind 3760	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (TarskiG_C ∩ TarskiG_B))
259	7	ad9antr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
260	11	ad9antr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
261		simp-9r 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
262	260, 261	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃)
263		simp-8r 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
264	260, 263	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃)
265		simp-7r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
266	260, 265	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑃)
267		simp-5r 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
268	260, 267	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑃)
269		simp-4r 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
270	260, 269	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑃)
271		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑐 ∈ 𝐵)
272	260, 271	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑃)
273		simp-6r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑢 ∈ 𝐵)
274	260, 273	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑢) ∈ 𝑃)
275		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑣 ∈ 𝐵)
276	260, 275	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑃)
277	9	ad9antr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
278	277, 261	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
279		simprl1 1099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
280		dff1o6 6431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝑃 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
281	280	simp3bi 1071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
282	281	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
283	282	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
284	283	necon3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
285	284	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
286	278, 263, 279, 285	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
287		simprl2 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))
288	22	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓))))
289	288	ad9antr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓))))
290	289	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
291	24	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓)))))
292	291	ad9antr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓)))))
293	292	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
294	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 261, 265, 263	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑧))))
295	287, 294	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘𝑧)))
296		simprl3 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐))
297	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 267, 271, 269	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐) ↔ (𝐹‘𝑏) ∈ ((𝐹‘𝑎)𝐼(𝐹‘𝑐))))
298	296, 297	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ((𝐹‘𝑎)𝐼(𝐹‘𝑐)))
299		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))
300	299	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)))
301	300	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏))
302	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 261, 263	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑦) = ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)))
303	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 267, 269	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑎𝐸𝑏) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))
304	301, 302, 303	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))
305	300	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐))
306	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 263, 265	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑧) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)))
307	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 269, 271	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑏𝐸𝑐) = ((𝐹‘𝑏)𝐷(𝐹‘𝑐)))
308	305, 306, 307	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑏)𝐷(𝐹‘𝑐)))
309	299	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))
310	309	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣))
311	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 261, 273	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑢) = ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑢)))
312	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 267, 275	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑎𝐸𝑣) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑣)))
313	310, 311, 312	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑣)))
314	309	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))
315	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 263, 273	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑢) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑢)))
316	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 269, 275	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑏𝐸𝑣) = ((𝐹‘𝑏)𝐷(𝐹‘𝑣)))
317	314, 315, 316	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑏)𝐷(𝐹‘𝑣)))
318	4, 5, 6, 259, 262, 264, 266, 268, 270, 272, 274, 276, 286, 295, 298, 304, 308, 313, 317	axtg5seg 25164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑐)𝐷(𝐹‘𝑣)))
319	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 265, 273	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑧𝐸𝑢) = ((𝐹‘𝑧)𝐷(𝐹‘𝑢)))
320	4, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 271, 275	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑐𝐸𝑣) = ((𝐹‘𝑐)𝐷(𝐹‘𝑣)))
321	318, 319, 320	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣))
322	321	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
323	322	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
324	323	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
325	324	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
326	325	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
327	326	ralrimiva 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
328	327	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
329	328	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
330	329	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
331		simp-4l 802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝜑)
332		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝑤 ∈ 𝑃)
333		simprl 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤))
334	331, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃)
335		f1ocnvfv2 6433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑤)) = 𝑤)
336	334, 332, 335	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝐹‘(^◡𝐹‘𝑤)) = 𝑤)
337	336	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑤))) = ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤))
338	333, 337	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑤))))
339	331, 22	sylan 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹‘𝑒)𝐷(𝐹‘𝑓)))
340	331, 24	sylan 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) ∧ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹‘𝑔) ∈ ((𝐹‘𝑒)𝐼(𝐹‘𝑓))))
341	13	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
342	77	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (^◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
343	331, 332, 342	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (^◡𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
344	15	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
345	4, 5, 6, 18, 19, 20, 334, 339, 340, 341, 343, 344	f1otrgitv 25550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤)) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑤)))))
346	338, 345	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤)))
347	4, 5, 6, 18, 19, 20, 334, 339, 340, 344, 343	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑤))))
348	336	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘(^◡𝐹‘𝑤))) = ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤))
349		simprr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))
350	347, 348, 349	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))
351		simprl 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
352	351	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
353		simprr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
354	353	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
355	4, 5, 6, 18, 19, 20, 334, 339, 340, 352, 354	f1otrgds 25549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝑎𝐸𝑏) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))
356	350, 355	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))
357		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (^◡𝐹‘𝑤) → (𝑥𝐽𝑧) = (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤)))
358	357	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (^◡𝐹‘𝑤) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤))))
359		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (^◡𝐹‘𝑤) → (𝑦𝐸𝑧) = (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)))
360	359	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (^◡𝐹‘𝑤) → ((𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏) ↔ (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏)))
361	358, 360	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (^◡𝐹‘𝑤) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))))
362	361	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 = (^◡𝐹‘𝑤)) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))))
363	342, 362	rspcedv 3286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏))))
364	363	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(^◡𝐹‘𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(^◡𝐹‘𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
365	331, 332, 346, 356, 364	syl22anc 1319	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
366	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
367	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃)
368	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃)
369	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵⟶𝑃)
370	369, 351	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑃)
371	369, 353	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑃)
372	4, 5, 6, 366, 367, 368, 370, 371	axtgsegcon 25163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑤 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑦) ∈ ((𝐹‘𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏))))
373	365, 372	r19.29a 3060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
374	373	ralrimivva 2954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
375	374	ralrimivva 2954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
376	3, 330, 375	jca32 556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))))
377	18, 19, 20	istrkgcb 25155	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ TarskiG_CB ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))))
378	376, 377	sylibr 223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG_CB)
379		f1otrg.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (LineG‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐽𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))}))
380	18, 19, 20	istrkgl 25157	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})} ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (LineG‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐽𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))})))
381	3, 379, 380	sylanbrc 695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})
382	378, 381	elind 3760	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (TarskiG_CB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
383	258, 382	elind 3760	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((TarskiG_C ∩ TarskiG_B) ∩ (TarskiG_CB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})))
384		df-trkg 25152	. 2 ⊢ TarskiG = ((TarskiG_C ∩ TarskiG_B) ∩ (TarskiG_CB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
385	383, 384	syl6eleqr 2699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∨ w3o 1030 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 {cab 2596 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 {crab 2900 Vcvv 3173 [wsbc 3402 ∖ cdif 3537 ∩ cin 3539 ⊆ wss 3540 𝒫 cpw 4108 {csn 4125 ^◡ccnv 5037 ran crn 5039 “ cima 5041 Fn wfn 5799 ⟶wf 5800 –1-1→wf1 5801 –onto→wfo 5802 –1-1-onto→wf1o 5803 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ↦ cmpt2 6551 Basecbs 15695 distcds 15777 TarskiGcstrkg 25129 TarskiG_Ccstrkgc 25130 TarskiG_Bcstrkgb 25131 TarskiG_CBcstrkgcb 25132 Itvcitv 25135 LineGclng 25136

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-ral 2901 df-rex 2902 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-op 4132 df-uni 4373 df-br 4584 df-opab 4644 df-id 4953 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-trkgc 25147 df-trkgb 25148 df-trkgcb 25149 df-trkg 25152

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