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Theorem f1otrge 25552
 Description: A bijection between bases which conserves distances and intervals conserves also the property of being a Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1otrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
f1otrkg.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
f1otrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
f1otrkg.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
f1otrkg.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
f1otrkg.j 𝐽 = (Itv‘𝐻)
f1otrkg.f (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
f1otrkg.1 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
f1otrkg.2 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
f1otrg.h (𝜑𝐻𝑉)
f1otrge.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
Assertion
Ref Expression
f1otrge (𝜑𝐻 ∈ TarskiGE)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑓,𝑔,𝐵   𝐷,𝑒,𝑓,𝑔   𝑒,𝐸,𝑓,𝑔   𝑒,𝐹,𝑓,𝑔   𝑒,𝐼,𝑓,𝑔   𝑒,𝐽,𝑓,𝑔   𝑃,𝑒,𝑓,𝑔   𝜑,𝑒,𝑓,𝑔   𝑓,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑒,𝑔)   𝑉(𝑒,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem f1otrge
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1otrg.h . . 3 (𝜑𝐻𝑉)
2 elex 3185 . . 3 (𝐻𝑉𝐻 ∈ V)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
4 f1otrkg.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
5 f1ocnv 6062 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝑃1-1-onto𝐵)
6 f1of 6050 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑃1-1-onto𝐵𝐹:𝑃𝐵)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑃𝐵)
87ad6antr 768 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝐹:𝑃𝐵)
9 simpllr 795 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑐𝑃)
108, 9ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐵)
11 simplr 788 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑑𝑃)
128, 11ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑑) ∈ 𝐵)
13 simpr1 1060 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐))
144ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
1514ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
16 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑐𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
1715, 9, 16syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
1817oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑐))) = ((𝐹𝑥)𝐼𝑐))
1913, 18eleqtrrd 2691 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑐))))
20 f1otrkg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
21 f1otrkg.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝐺)
22 f1otrkg.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
23 f1otrkg.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐻)
24 f1otrkg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (dist‘𝐻)
25 f1otrkg.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (Itv‘𝐻)
26 simp-4l 802 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)))
27 simplll 794 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
28 f1otrkg.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
2928adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
3027, 29sylancom 698 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
3126, 30sylancom 698 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
32 simp-4l 802 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)))
33 simplll 794 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
34 f1otrkg.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
3534adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
3633, 35sylancom 698 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
3732, 36sylancom 698 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
38 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
3938ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑥𝐵)
4039ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑥𝐵)
41 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
4241ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑦𝐵)
4342ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑦𝐵)
4420, 21, 22, 23, 24, 25, 15, 31, 37, 40, 10, 43f1otrgitv 25550 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ↔ (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑐)))))
4519, 44mpbird 246 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)))
46 simpr2 1061 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑))
47 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑑𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑑)) = 𝑑)
4815, 11, 47syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹‘(𝐹𝑑)) = 𝑑)
4948oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))) = ((𝐹𝑥)𝐼𝑑))
5046, 49eleqtrrd 2691 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))))
51 simplr1 1096 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑧𝐵)
5251ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑧𝐵)
5320, 21, 22, 23, 24, 25, 15, 31, 37, 40, 12, 52f1otrgitv 25550 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑)))))
5450, 53mpbird 246 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)))
55 simpr3 1062 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))
5617, 48oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ((𝐹‘(𝐹𝑐))𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))) = (𝑐𝐼𝑑))
5755, 56eleqtrrd 2691 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝐹𝑣) ∈ ((𝐹‘(𝐹𝑐))𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑))))
58 simplr3 1098 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑣𝐵)
5958ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑣𝐵)
6020, 21, 22, 23, 24, 25, 15, 31, 37, 10, 12, 59f1otrgitv 25550 . . . . . . . 8 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → (𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)) ↔ (𝐹𝑣) ∈ ((𝐹‘(𝐹𝑐))𝐼(𝐹‘(𝐹𝑑)))))
6157, 60mpbird 246 . . . . . . 7 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))
62 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑥𝐽𝑎) = (𝑥𝐽(𝐹𝑐)))
6362eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐))))
64 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑎𝐽𝑏) = ((𝐹𝑐)𝐽𝑏))
6564eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐹𝑐) → (𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏)))
6663, 653anbi13d 1393 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐹𝑐) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏))))
67 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑑) → (𝑥𝐽𝑏) = (𝑥𝐽(𝐹𝑑)))
6867eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑑) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑))))
69 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑑) → ((𝐹𝑐)𝐽𝑏) = ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))
7069eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑑) → (𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑))))
7168, 703anbi23d 1394 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐹𝑑) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))))
7266, 71rspc2ev 3295 . . . . . . 7 (((𝐹𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑐)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑑)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑐)𝐽(𝐹𝑑)))) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))
7310, 12, 45, 54, 61, 72syl113anc 1330 . . . . . 6 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑))) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))
74 f1otrge.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiGE)
7574ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
76 f1of 6050 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝐵𝑃)
774, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵𝑃)
7877adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:𝐵𝑃)
7978, 38ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
8079ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
8178, 41ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
8281ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
8377ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝐹:𝐵𝑃)
8483, 51ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑃)
85 simplr2 1097 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑢𝐵)
8683, 85ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝑃)
8783, 58ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑃)
88 simpr1 1060 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣))
8920, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 30, 36, 39, 58, 85f1otrgitv 25550 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ↔ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑣))))
9088, 89mpbid 221 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑣)))
91 simpr2 1061 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
9220, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 30, 36, 42, 51, 85f1otrgitv 25550 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↔ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑦)𝐼(𝐹𝑧))))
9391, 92mpbid 221 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑦)𝐼(𝐹𝑧)))
9414, 39jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵))
95 simpr3 1062 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → 𝑥𝑢)
96 dff1o6 6431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝑃 ∧ ∀𝑥𝐵𝑢𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢)))
9796simp3bi 1071 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃 → ∀𝑥𝐵𝑢𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢))
9897r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) → ∀𝑢𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢))
9998r19.21bi 2916 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑢) → 𝑥 = 𝑢))
10099necon3d 2803 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥𝑢 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑢)))
101100imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑥𝑢) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑢))
10294, 85, 95, 101syl21anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑢))
10320, 21, 22, 75, 80, 82, 84, 86, 87, 90, 93, 102axtgeucl 25171 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → ∃𝑐𝑃𝑑𝑃 ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑐) ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑑) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
10473, 103r19.29vva 3062 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢)) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))
105104ex 449 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏))))
106105ralrimivvva 2955 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏))))
107106ralrimivva 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏))))
10823, 24, 25istrkge 25156 . 2 (𝐻 ∈ TarskiGE ↔ (𝐻 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑣) ∧ 𝑢 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑎) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑏) ∧ 𝑣 ∈ (𝑎𝐽𝑏)))))
1093, 107, 108sylanbrc 695 1 (𝜑𝐻 ∈ TarskiGE)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ◡ccnv 5037  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGEcstrkge 25134  Itvcitv 25135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-trkge 25150 This theorem is referenced by: (None)
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