Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nfv 1830 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) |
2 | | nfv 1830 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆
ℝ) |
3 | | nfra1 2925 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 |
4 | 1, 2, 3 | nf3an 1819 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) |
5 | | nfv 1830 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ |
6 | | nfra1 2925 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 |
7 | | nfra1 2925 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤) |
8 | 6, 7 | nfan 1816 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)) |
9 | 5, 8 | nfan 1816 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ ℝ ∧
(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) |
10 | 4, 9 | nfan 1816 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) |
11 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑦(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) |
12 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆
ℝ) |
13 | | nfra2 2930 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 |
14 | 11, 12, 13 | nf3an 1819 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑦((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) |
15 | | nfv 1830 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ ℝ ∧
(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) |
16 | 14, 15 | nfan 1816 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑦(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) |
17 | | nfv 1830 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴 |
18 | | simprrl 800 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥) |
19 | 18 | r19.21bi 2916 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ≠ ∅
∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧
(𝐴 ⊆ ℝ ∧
𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 < 𝑥) |
20 | | simpl2l 1107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
21 | 20 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ≠ ∅
∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧
(𝐴 ⊆ ℝ ∧
𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) |
22 | | simplrl 796 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ≠ ∅
∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧
(𝐴 ⊆ ℝ ∧
𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ) |
23 | 21, 22 | lenltd 10062 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ≠ ∅
∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧
(𝐴 ⊆ ℝ ∧
𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑥)) |
24 | 19, 23 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ≠ ∅
∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧
(𝐴 ⊆ ℝ ∧
𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑧) |
25 | 24 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝑧)) |
26 | | simpl3 1059 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) |
27 | | simp2 1055 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) |
28 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧
(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
29 | | rsp 2913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 < 𝑦)) |
30 | 29 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)) |
31 | 30 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)) |
32 | | ssel2 3563 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) |
33 | 32 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) |
34 | 33 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ) |
35 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ) |
36 | 35 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ) |
37 | | ltnsym 10014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥)) |
38 | 34, 36, 37 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥)) |
39 | 31, 38 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥)) |
40 | 39 | an32s 842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥)) |
41 | 40 | ralimdva 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)) |
42 | 27, 28, 41 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)) |
43 | 26, 42 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥) |
44 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑤)) |
45 | 44 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑤)) |
46 | 45 | cbvralv 3147 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤) |
47 | 43, 46 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤) |
48 | | ralnex 2975 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑤 ∈
𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) |
49 | 47, 48 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) |
50 | | simp2r 1081 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ⊆ ℝ) |
51 | | ssel2 3563 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ) |
52 | 50, 28, 51 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
53 | | simplrr 797 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧
(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)) |
54 | 53 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)) |
55 | | breq1 4586 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑧)) |
56 | | breq1 4586 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑤 ↔ 𝑦 < 𝑤)) |
57 | 56 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)) |
58 | 55, 57 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤) ↔ (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))) |
59 | 58 | rspcv 3278 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ℝ →
(∀𝑥 ∈ ℝ
(𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤) → (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))) |
60 | 52, 54, 59 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)) |
61 | 49, 60 | mtod 188 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝑧) |
62 | | simprll 798 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ) |
63 | 62, 52 | lenltd 10062 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑧)) |
64 | 61, 63 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝑦) |
65 | 64 | expr 641 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝑦)) |
66 | 25, 65 | anim12d 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) |
67 | 66 | expd 451 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))) |
68 | 16, 17, 67 | ralrimd 2942 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) |
69 | 10, 68 | ralrimi 2940 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
70 | | simp2l 1080 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
71 | | simp1l 1078 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅) |
72 | | simp1r 1079 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅) |
73 | | n0 3890 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔
∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵) |
74 | 72, 73 | sylib 207 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵) |
75 | 50 | sseld 3567 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ)) |
76 | | ralcom 3079 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) |
77 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑧)) |
78 | 77 | ralbidv 2969 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)) |
79 | 78 | rspccv 3279 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)) |
80 | 76, 79 | sylbi 206 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)) |
81 | 80 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)) |
82 | 75, 81 | jcad 554 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))) |
83 | 82 | eximdv 1833 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))) |
84 | 74, 83 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)) |
85 | | df-rex 2902 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑧 ∈
ℝ ∀𝑥 ∈
𝐴 𝑥 < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)) |
86 | 84, 85 | sylibr 223 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧) |
87 | | axsup 9992 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) |
88 | 70, 71, 86, 87 | syl3anc 1318 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) |
89 | 69, 88 | reximddv 3001 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
90 | 89 | 3expib 1260 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) |
91 | | 1re 9918 |
. . . . 5
⊢ 1 ∈
ℝ |
92 | | rzal 4025 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) |
93 | | breq2 4587 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 1 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 1)) |
94 | | breq1 4586 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦)) |
95 | 93, 94 | anbi12d 743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))) |
96 | 95 | 2ralbidv 2972 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))) |
97 | 96 | rspcev 3282 |
. . . . 5
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
98 | 91, 92, 97 | sylancr 694 |
. . . 4
⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
99 | 98 | a1d 25 |
. . 3
⊢ (𝐴 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) |
100 | | rzal 4025 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) |
101 | 100 | ralrimivw 2950 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) |
102 | 91, 101, 97 | sylancr 694 |
. . . 4
⊢ (𝐵 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
103 | 102 | a1d 25 |
. . 3
⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) |
104 | 90, 99, 103 | pm2.61iine 2872 |
. 2
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) |
105 | 104 | 3impa 1251 |
1
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) |