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Theorem dedekind 9797
Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 9617 with appropriate adjustments, states that, if  A completely preceeds  B, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekind  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem dedekind
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )
2 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )
3 nfra1 2806 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
41, 2, 3nf3an 1986 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
5 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ x  z  e.  RR
6 nfra1 2806 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  -.  z  <  x
7 nfra1 2806 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )
86, 7nfan 1984 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
95, 8nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ x
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
104, 9nfan 1984 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )
11 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )
12 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )
13 nfra2 2812 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
1411, 12, 13nf3an 1986 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
15 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
1614, 15nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )
17 nfv 1751 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  e.  A
18 simprrl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  -.  z  <  x )
1918r19.21bi 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  -.  z  <  x )
20 simpl2l 1058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A  C_  RR )
2120sselda 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
22 simplrl 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  RR )
2321, 22lenltd 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  z  <->  -.  z  <  x ) )
2419, 23mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  <_  z )
2524ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  <_  z ) )
26 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
27 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
28 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
29 rsp 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  ( y  e.  B  ->  x  < 
y ) )
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  x  <  y ) )
3130adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  x  <  y ) )
32 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3332adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
3433adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  RR )
35 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  C_  RR )
3635sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
37 ltnsym 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  ->  -.  y  <  x
) )
3834, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
3931, 38syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
4039an32s 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
4140ralimdva 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x ) )
4227, 28, 41syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x ) )
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x )
44 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
4544notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  w ) )
4645cbvralv 3055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. w  e.  A  -.  y  <  w )
4743, 46sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. w  e.  A  -.  y  <  w )
48 ralnex 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  A  -.  y  <  w  <->  -.  E. w  e.  A  y  <  w )
4947, 48sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  E. w  e.  A  y  <  w )
50 simp2r 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  B  C_  RR )
51 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
5250, 28, 51syl2an 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  RR )
53 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
5453adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
55 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  z  <->  y  <  z ) )
56 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  w  <->  y  <  w ) )
5756rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( E. w  e.  A  x  <  w  <->  E. w  e.  A  y  <  w ) )
5855, 57imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )  <->  ( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) ) )
5958rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )  -> 
( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) ) )
6052, 54, 59sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) )
6149, 60mtod 180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  y  <  z )
62 simprll 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  z  e.  RR )
6362, 52lenltd 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  <_  y  <->  -.  y  <  z ) )
6461, 63mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  z  <_  y )
6564expr 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
z  <_  y )
)
6625, 65anim12d 565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) ) )
6766expd 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) ) )
6816, 17, 67ralrimd 2829 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
6910, 68ralrimi 2825 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) )
70 simp2l 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  A  C_  RR )
71 simp1l 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  A  =/=  (/) )
72 simp1r 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  B  =/=  (/) )
73 n0 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  B )
7472, 73sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z 
z  e.  B )
7550sseld 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  RR ) )
76 ralcom 2989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  x  <  y )
77 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
x  <  y  <->  x  <  z ) )
7877ralbidv 2864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  A  x  <  y  <->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
7978rspccv 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  B  A. x  e.  A  x  <  y  ->  ( z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
8076, 79sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  ( z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
81803ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
8275, 81jcad 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  -> 
( z  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  <  z ) ) )
8382eximdv 1754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  ( E. z  z  e.  B  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <  z ) ) )
8474, 83mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z
( z  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  <  z ) )
85 df-rex 2781 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z  <->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <  z ) )
8684, 85sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z
)
87 axsup 9709 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z
)  ->  E. z  e.  RR  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
8870, 71, 86, 87syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
8969, 88reximddv 2901 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
90893expib 1208 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
91 1re 9642 . . . . 5  |-  1  e.  RR
92 rzal 3899 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
93 breq2 4424 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  1 ) )
94 breq1 4423 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <_  y  <->  1  <_  y ) )
9593, 94anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <-> 
( x  <_  1  /\  1  <_  y ) ) )
96952ralbidv 2869 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) ) )
9796rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  1  /\  1  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
9891, 92, 97sylancr 667 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
9998a1d 26 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
100 rzal 3899 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
101100ralrimivw 2840 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
10291, 101, 97sylancr 667 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
103102a1d 26 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
10490, 99, 103pm2.61iine 2746 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
1051043impa 1200 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420   RRcr 9538   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681
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