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Theorem dedekind 25140
Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 9024 with appropriate adjustments, states that, if  A completely preceeds  B, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekind  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem dedekind
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  A  C_  RR )
2 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  A  =/=  (/) )
3 simp1r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  B  =/=  (/) )
4 n0 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  B )
53, 4sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z 
z  e.  B )
6 simp2r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  B  C_  RR )
76sseld 3307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  RR ) )
8 ralcom 2828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  x  <  y )
9 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
x  <  y  <->  x  <  z ) )
109ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  A  x  <  y  <->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
1110rspccv 3009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  B  A. x  e.  A  x  <  y  ->  ( z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
128, 11sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  ( z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
13123ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
147, 13jcad 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  -> 
( z  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  <  z ) ) )
1514eximdv 1629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  ( E. z  z  e.  B  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <  z ) ) )
165, 15mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z
( z  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  <  z ) )
17 df-rex 2672 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z  <->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <  z ) )
1816, 17sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z
)
19 axsup 9107 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z
)  ->  E. z  e.  RR  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
201, 2, 18, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
21 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )
22 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )
23 nfra1 2716 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
2421, 22, 23nf3an 1845 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
25 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  z  e.  RR
26 nfra1 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  -.  z  <  x
27 nfra1 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )
2826, 27nfan 1842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
2925, 28nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
3024, 29nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )
31 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )
32 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )
33 nfra2 2720 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
3431, 32, 33nf3an 1845 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
35 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
3634, 35nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )
37 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  A
38 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  -.  z  <  x )
3938r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  -.  z  <  x )
40 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A  C_  RR )
4140sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
42 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  RR )
4341, 42lenltd 9175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  z  <->  -.  z  <  x ) )
4439, 43mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  <_  z )
4544ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  <_  z ) )
46 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
47 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
48 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
49 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  ( y  e.  B  ->  x  < 
y ) )
5049com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  x  <  y ) )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  x  <  y ) )
52 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
5352adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  RR )
55 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  C_  RR )
5655sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
57 ltnsym 9128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  ->  -.  y  <  x
) )
5854, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
5951, 58syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
6059an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
6160ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x ) )
6247, 48, 61syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x ) )
6346, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x )
64 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
6564notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  w ) )
6665cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. w  e.  A  -.  y  <  w )
6763, 66sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. w  e.  A  -.  y  <  w )
68 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  A  -.  y  <  w  <->  -.  E. w  e.  A  y  <  w )
6967, 68sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  E. w  e.  A  y  <  w )
70 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
716, 48, 70syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  RR )
72 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
7372adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
74 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  z  <->  y  <  z ) )
75 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  w  <->  y  <  w ) )
7675rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( E. w  e.  A  x  <  w  <->  E. w  e.  A  y  <  w ) )
7774, 76imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )  <->  ( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) ) )
7877rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )  -> 
( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) ) )
7971, 73, 78sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) )
8069, 79mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  y  <  z )
81 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  z  e.  RR )
8281, 71lenltd 9175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  <_  y  <->  -.  y  <  z ) )
8380, 82mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  z  <_  y )
8483expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
z  <_  y )
)
8545, 84anim12d 547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) ) )
8685exp3a 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) ) )
8736, 37, 86ralrimd 2754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
8830, 87ralrimi 2747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) )
8988expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) ) )
9089reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  ( E. z  e.  RR  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
9120, 90mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
92913expib 1156 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
93 1re 9046 . . . . 5  |-  1  e.  RR
94 rzal 3689 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
95 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  1 ) )
96 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <_  y  <->  1  <_  y ) )
9795, 96anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <-> 
( x  <_  1  /\  1  <_  y ) ) )
98972ralbidv 2708 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) ) )
9998rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  1  /\  1  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
10093, 94, 99sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
101100a1d 23 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
102 rzal 3689 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
103102ralrimivw 2750 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
10493, 103, 99sylancr 645 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
105104a1d 23 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
10692, 101, 105pm2.61iine 25139 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
1071063impa 1148 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   RRcr 8945   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  dedekindle  25141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
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