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Theorem dedekind 9815
Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 9635 with appropriate adjustments, states that, if  A completely preceeds  B, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekind  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem dedekind
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )
2 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )
3 nfra1 2785 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
41, 2, 3nf3an 2033 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
5 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x  z  e.  RR
6 nfra1 2785 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  -.  z  <  x
7 nfra1 2785 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )
86, 7nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
95, 8nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ x
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
104, 9nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )
11 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )
12 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )
13 nfra2 2790 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
1411, 12, 13nf3an 2033 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
15 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
1614, 15nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )
17 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  e.  A
18 simprrl 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  -.  z  <  x )
1918r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  -.  z  <  x )
20 simpl2l 1083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A  C_  RR )
2120sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
22 simplrl 778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  RR )
2321, 22lenltd 9798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  z  <->  -.  z  <  x ) )
2419, 23mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  <_  z )
2524ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  <_  z ) )
26 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
27 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
28 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
29 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  ( y  e.  B  ->  x  < 
y ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  x  <  y ) )
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  x  <  y ) )
32 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3332adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  RR )
35 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  C_  RR )
3635sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
37 ltnsym 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  ->  -.  y  <  x
) )
3834, 36, 37syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
3931, 38syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
4039an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  <  y  ->  -.  y  <  x ) )
4140ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x ) )
4227, 28, 41syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x ) )
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  A  -.  y  <  x )
44 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
y  <  x  <->  y  <  w ) )
4544notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  w ) )
4645cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. w  e.  A  -.  y  <  w )
4743, 46sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. w  e.  A  -.  y  <  w )
48 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  A  -.  y  <  w  <->  -.  E. w  e.  A  y  <  w )
4947, 48sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  E. w  e.  A  y  <  w )
50 simp2r 1057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  B  C_  RR )
51 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
5250, 28, 51syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  RR )
53 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) )
55 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  z  <->  y  <  z ) )
56 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  w  <->  y  <  w ) )
5756rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( E. w  e.  A  x  <  w  <->  E. w  e.  A  y  <  w ) )
5855, 57imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )  <->  ( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) ) )
5958rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w )  -> 
( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) ) )
6052, 54, 59sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( y  <  z  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) )
6149, 60mtod 182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  y  <  z )
62 simprll 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  z  e.  RR )
6362, 52lenltd 9798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  <_  y  <->  -.  y  <  z ) )
6461, 63mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
( z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )  /\  y  e.  B )
)  ->  z  <_  y )
6564expr 626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
z  <_  y )
)
6625, 65anim12d 572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) ) )
6766expd 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  B  ->  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) ) )
6816, 17, 67ralrimd 2802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
6910, 68ralrimi 2800 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) )
70 simp2l 1056 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  A  C_  RR )
71 simp1l 1054 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  A  =/=  (/) )
72 simp1r 1055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  B  =/=  (/) )
73 n0 3732 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  B )
7472, 73sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z 
z  e.  B )
7550sseld 3417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  RR ) )
76 ralcom 2937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  x  <  y )
77 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
x  <  y  <->  x  <  z ) )
7877ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  A  x  <  y  <->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
7978rspccv 3133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  B  A. x  e.  A  x  <  y  ->  ( z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
8076, 79sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y  ->  ( z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
81803ad2ant3 1053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  ->  A. x  e.  A  x  <  z ) )
8275, 81jcad 542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  (
z  e.  B  -> 
( z  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  <  z ) ) )
8382eximdv 1772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  ( E. z  z  e.  B  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <  z ) ) )
8474, 83mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z
( z  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  <  z ) )
85 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z  <->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <  z ) )
8684, 85sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z
)
87 axsup 9727 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  x  <  z
)  ->  E. z  e.  RR  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
8870, 71, 86, 87syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  ( A. x  e.  A  -.  z  <  x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
z  ->  E. w  e.  A  x  <  w ) ) )
8969, 88reximddv 2859 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
90893expib 1234 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
91 1re 9660 . . . . 5  |-  1  e.  RR
92 rzal 3862 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
93 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  1 ) )
94 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  <_  y  <->  1  <_  y ) )
9593, 94anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <-> 
( x  <_  1  /\  1  <_  y ) ) )
96952ralbidv 2832 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) ) )
9796rspcev 3136 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  1  /\  1  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
9891, 92, 97sylancr 676 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
9998a1d 25 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
100 rzal 3862 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
101100ralrimivw 2810 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  1  /\  1  <_ 
y ) )
10291, 101, 97sylancr 676 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
103102a1d 25 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) ) )
10490, 99, 103pm2.61iine 2733 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
1051043impa 1226 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   RRcr 9556   1c1 9558    < clt 9693    <_ cle 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699
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