Theorem cnprest2 20904

Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnprest.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cnprest.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnprest2	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnptop1 20856	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2		cnprest.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	cnprcl 20859	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
4	1, 3	jca 553	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
6		cnptop1 20856	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
7	2	cnprcl 20859	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8	6, 7	jca 553	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
10		simpl2 1058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝐵)
11		simprr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
12	10, 11	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	12	biantrud 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)))
14		elin 3758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵))
15	13, 14	syl6bbr 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)))
16		imassrn 5396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ ran 𝐹
17		frn 5966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
19	16, 18	syl5ss 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵)
20	19	biantrud 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵)))
21		ssin 3797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))
22	20, 21	syl6bb 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))
23	22	anbi2d 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
24	23	rexbidv 3034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
25	15, 24	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
26	25	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
27		vex 3176	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	inex1 4727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V)
30		simpl1 1057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
31		cnprest.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
32		uniexg 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ 𝐾 ∈ V)
33	31, 32	syl5eqel 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
35		simpl3 1059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ⊆ 𝑌)
36	34, 35	ssexd 4733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
37		elrest 15911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
38	30, 36, 37	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
39		eleq2 2677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)))
40		sseq2 3590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))
41	40	anbi2d 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
42	41	rexbidv 3034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
43	39, 42	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
44	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
45	29, 38, 44	ralxfr2d 4808	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
46	26, 45	bitr4d 270	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
47		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
48	2, 31	iscnp2 20853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
49	48	baib 942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
50	47, 30, 11, 49	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
51	10, 35	fssd 5970	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
52	51	biantrurd 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
53	50, 52	bitr4d 270	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥))))
54	2	toptopon 20548	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
55	47, 54	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
56	31	toptopon 20548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
57	30, 56	sylib 207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
58		resttopon 20775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
59	57, 35, 58	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
60		iscnp 20851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)))))
61	55, 59, 11, 60	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)))))
62	10	biantrurd 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)))))
63	61, 62	bitr4d 270	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
64	46, 53, 63	3bitr4d 299	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))
65	64	ex 449	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃))))
66	5, 9, 65	pm5.21ndd 368	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾_t crest 15904  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   CnP ccnp 20839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cnp 20842

This theorem is referenced by:  limccnp  23461  limccnp2  23462  dirkercncflem4  38999  dirkercncf  39000  fouriercnp  39119