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Theorem cnprest2 17308
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 17260 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
2 cnprest.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32cnprcl 17263 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X )
41, 3jca 519 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) ) )
6 cnptop1 17260 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  J  e.  Top )
72cnprcl 17263 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  P  e.  X
)
86, 7jca 519 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  ( J  e. 
Top  /\  P  e.  X ) )
98a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) ) )
10 simpl2 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  F : X
--> B )
11 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
1210, 11ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
1312biantrud 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( ( F `
 P )  e.  x  /\  ( F `
 P )  e.  B ) ) )
14 elin 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i 
B )  <->  ( ( F `  P )  e.  x  /\  ( F `  P )  e.  B ) )
1513, 14syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
16 imassrn 5175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
17 frn 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> B  ->  ran  F  C_  B )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ran  F  C_  B )
1916, 18syl5ss 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F " y )  C_  B
)
2019biantrud 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( ( F "
y )  C_  x  /\  ( F " y
)  C_  B )
) )
21 ssin 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " y
)  C_  x  /\  ( F " y ) 
C_  B )  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
)
2220, 21syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) )
2322anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
2423rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
2515, 24imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
2625ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
27 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
2827inex1 4304 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Top  /\  F : X
--> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( x  i^i  B
)  e.  _V )
30 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  K  e.  Top )
31 cnprest.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. K
32 uniexg 4665 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
3331, 32syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  Y  e.  _V )
3430, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  Y  e.  _V )
35 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  B  C_  Y
)
3634, 35ssexd 4310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  B  e.  _V )
37 elrest 13610 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
3830, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
39 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F `  P
)  e.  z  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
40 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F " y
)  C_  z  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
) )
4140anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( P  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  z
)  <->  ( P  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
4241rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) ) )
4339, 42imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4443adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Top  /\  F : X
--> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4529, 38, 44ralxfr2d 4698 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4626, 45bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
47 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  J  e.  Top )
482, 31iscnp2 17257 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) ) )
4948baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) ) )
5047, 30, 11, 49syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
51 fss 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> B  /\  B  C_  Y )  ->  F : X --> Y )
5210, 35, 51syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  F : X
--> Y )
5352biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
5450, 53bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) )
552toptopon 16953 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5647, 55sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5731toptopon 16953 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5830, 57sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
59 resttopon 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
6058, 35, 59syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
61 iscnp 17255 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <-> 
( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6256, 60, 11, 61syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6310biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
6462, 63bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
6546, 54, 643bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  P  e.  X ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P
) ) )
6665ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) ) )
675, 9, 66pm5.21ndd 344 1  |-  ( ( K  e.  Top  /\  F : X --> B  /\  B  C_  Y )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   U.cuni 3975   ran crn 4838   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    CnP ccnp 17243
This theorem is referenced by:  limccnp  19731  limccnp2  19732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cnp 17246
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