Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Unicode version

Theorem cnprest2 17308
 Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1
cnprest.2
Assertion
Ref Expression
cnprest2 t

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 17260 . . . 4
2 cnprest.1 . . . . 5
32cnprcl 17263 . . . 4
41, 3jca 519 . . 3
54a1i 11 . 2
6 cnptop1 17260 . . . 4 t
72cnprcl 17263 . . . 4 t
86, 7jca 519 . . 3 t
98a1i 11 . 2 t
10 simpl2 961 . . . . . . . . . 10
11 simprr 734 . . . . . . . . . 10
1210, 11ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9
1312biantrud 494 . . . . . . . 8
14 elin 3490 . . . . . . . 8
1513, 14syl6bbr 255 . . . . . . 7
16 imassrn 5175 . . . . . . . . . . . 12
17 frn 5556 . . . . . . . . . . . . 13
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18syl5ss 3319 . . . . . . . . . . 11
2019biantrud 494 . . . . . . . . . 10
21 ssin 3523 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl6bb 253 . . . . . . . . 9
2322anbi2d 685 . . . . . . . 8
2423rexbidv 2687 . . . . . . 7
2515, 24imbi12d 312 . . . . . 6
2625ralbidv 2686 . . . . 5
27 vex 2919 . . . . . . . 8
2827inex1 4304 . . . . . . 7
2928a1i 11 . . . . . 6
30 simpl1 960 . . . . . . 7
31 cnprest.2 . . . . . . . . . 10
32 uniexg 4665 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9
3430, 33syl 16 . . . . . . . 8
35 simpl3 962 . . . . . . . 8
3634, 35ssexd 4310 . . . . . . 7
37 elrest 13610 . . . . . . 7 t
3830, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6 t
39 eleq2 2465 . . . . . . . 8
40 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10
4140anbi2d 685 . . . . . . . . 9
4241rexbidv 2687 . . . . . . . 8
4339, 42imbi12d 312 . . . . . . 7
4443adantl 453 . . . . . 6
4529, 38, 44ralxfr2d 4698 . . . . 5 t
4626, 45bitr4d 248 . . . 4 t
47 simprl 733 . . . . . 6
482, 31iscnp2 17257 . . . . . . 7
4948baib 872 . . . . . 6
5047, 30, 11, 49syl3anc 1184 . . . . 5
51 fss 5558 . . . . . . 7
5210, 35, 51syl2anc 643 . . . . . 6
5352biantrurd 495 . . . . 5
5450, 53bitr4d 248 . . . 4
552toptopon 16953 . . . . . . 7 TopOn
5647, 55sylib 189 . . . . . 6 TopOn
5731toptopon 16953 . . . . . . . 8 TopOn
5830, 57sylib 189 . . . . . . 7 TopOn
59 resttopon 17179 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
6058, 35, 59syl2anc 643 . . . . . 6 t TopOn
61 iscnp 17255 . . . . . 6 TopOn t TopOn t t
6256, 60, 11, 61syl3anc 1184 . . . . 5 t t
6310biantrurd 495 . . . . 5 t t
6462, 63bitr4d 248 . . . 4 t t
6546, 54, 643bitr4d 277 . . 3 t
6665ex 424 . 2 t
675, 9, 66pm5.21ndd 344 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   cin 3279   wss 3280  cuni 3975   crn 4838  cima 4840  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603  ctop 16913  TopOnctopon 16914   ccnp 17243 This theorem is referenced by:  limccnp  19731  limccnp2  19732 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cnp 17246
 Copyright terms: Public domain W3C validator