Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwlkl1loop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkl1loop 40989
 Description: A closed walk of length 1 is a loop. (Contributed by AV, 22-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkl1loop ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwlkl1loop
StepHypRef Expression
1 isclWlkb 40980 . . 3 (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
2 fveq2 6103 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘1))
32eqeq2d 2620 . . . . . 6 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
43anbi2d 736 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))))
5 simp2r 1081 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
6 simp3 1056 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → Fun (iEdg‘𝐺))
7 simp2l 1080 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
8 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
98anim2i 591 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → ((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
1093adant3 1074 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
11 1wlkl1loop 40842 . . . . . . . 8 (((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
126, 7, 10, 11syl21anc 1317 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
135, 12jca 553 . . . . . 6 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
14133exp 1256 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
154, 14sylbid 229 . . . 4 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1615com13 86 . . 3 (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
171, 16syl5bi 231 . 2 (Fun (iEdg‘𝐺) → (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
18173imp 1249 1 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   class class class wbr 4583  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  #chash 12979  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796  ClWalkScclwlks 40976 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-edga 25793  df-1wlks 40800  df-clwlks 40977 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator