Theorem ablcmn 18022

Description: An Abelian group is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ablcmn	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ablcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 18020	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simprbi 479	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Grpcgrp 17245  CMndccmn 18016  Abelcabl 18017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-in 3547  df-abl 18019

This theorem is referenced by:  ablcom  18033  abl32  18037  ablsub4  18041  mulgdi  18055  ghmabl  18061  ghmplusg  18072  ablcntzd  18083  prdsabld  18088  gsumsubgcl  18143  gsummulgz  18166  gsuminv  18169  gsumsub  18171  telgsumfzslem  18208  telgsums  18213  ringcmn  18404  lmodcmn  18734  clmsub4  22714  lgseisenlem4  24903