Theorem clmsub4 22714

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmsub4	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Proof of Theorem clmsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4	2, 3	clmneg1 22690	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		clmpm1dir.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		clmpm1dir.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		clmpm1dir.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13	10, 2, 11, 3, 12	clmvsdi 22700	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
14	1, 5, 7, 9, 13	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
15	14	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
16	15	oveq2d 6565	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
17		clmabl 22677	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
18		ablcmn 18022	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ CMnd)
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ CMnd)
20	19	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ CMnd)
21		simp2 1055	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
22		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
25	10, 2, 11, 3	clmvscl 22696	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
27		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
28	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
30	10, 2, 11, 3	clmvscl 22696	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
32	26, 31	anim12dan 878	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
33	32	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
34	10, 12	cmn4 18035	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
35	20, 21, 33, 34	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
36	16, 35	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  -cneg 10146  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  CMndccmn 18016  Abelcabl 18017  ℂModcclm 22670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-cnfld 19568  df-clm 22671

This theorem is referenced by: (None)