Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsub 18171
 Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z 0 = (0g𝐺)
gsumsub.m = (-g𝐺)
gsumsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsub.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumsub.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumsub.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumsub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumsub.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsub.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 gsumsub.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 ablcmn 18022 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
7 gsumsub.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8 gsumsub.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 eqid 2610 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 ablgrp 18021 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
114, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
121, 9, 11grpinvf1o 17308 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵1-1-onto𝐵)
13 f1of 6050 . . . . . 6 ((invg𝐺):𝐵1-1-onto𝐵 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
15 gsumsub.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
16 fco 5971 . . . . 5 (((invg𝐺):𝐵𝐵𝐻:𝐴𝐵) → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
1714, 15, 16syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
18 gsumsub.fn . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
19 fvex 6113 . . . . . . 7 (0g𝐺) ∈ V
202, 19eqeltri 2684 . . . . . 6 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
22 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
231, 22eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2423a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
25 gsumsub.hn . . . . 5 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
262, 9grpinvid 17299 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2711, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2821, 15, 14, 7, 24, 25, 27fsuppco2 8191 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
291, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 28gsumadd 18146 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
301, 2, 9, 4, 7, 15, 25gsuminv 18169 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
3130oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
3229, 31eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
338ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
3415ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
35 gsumsub.m . . . . . . 7 = (-g𝐺)
361, 3, 9, 35grpsubval 17288 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3733, 34, 36syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3837mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
398feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
4015feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐻𝑘)))
417, 33, 34, 39, 40offval2 6812 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
42 fvex 6113 . . . . . 6 ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V
4342a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
4414feqmptd 6159 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
45 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
4634, 40, 44, 45fmptco 6303 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
477, 33, 43, 39, 46offval2 6812 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
4838, 41, 473eqtr4d 2654 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) = (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
4948oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
501, 2, 6, 7, 8, 18gsumcl 18139 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
511, 2, 6, 7, 15, 25gsumcl 18139 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
521, 3, 9, 35grpsubval 17288 . . 3 (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
5350, 51, 52syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
5432, 49, 533eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  CMndccmn 18016  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019 This theorem is referenced by:  gsummptfssub  18172  tsmsxplem2  21767
 Copyright terms: Public domain W3C validator