Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  21wlkond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 21wlkond 41144
 Description: A 1-walk of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
21wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
21wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
21wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
21wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
21wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
21wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
21wlkond (𝜑𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Proof of Theorem 21wlkond
StepHypRef Expression
1 21wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 21wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 21wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
4 21wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
5 21wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
6 21wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 21wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 721wlkd 41143 . 2 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
93simp1d 1066 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
101fveq1i 6104 . . . 4 (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
11 s3fv0 13486 . . . 4 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
1210, 11syl5eq 2656 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
139, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐴)
142fveq2i 6106 . . . . 5 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
15 s2len 13484 . . . . 5 (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
1614, 15eqtri 2632 . . . 4 (#‘𝐹) = 2
171, 16fveq12i 6108 . . 3 (𝑃‘(#‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
183simp3d 1068 . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
19 s3fv2 13488 . . . 4 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
2117, 20syl5eq 2656 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐶)
22 3simpb 1052 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
233, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
24 s2cli 13475 . . . . 5 ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
252, 24eqeltri 2684 . . . 4 𝐹 ∈ Word V
26 s3cli 13476 . . . . 5 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
271, 26eqeltri 2684 . . . 4 𝑃 ∈ Word V
2825, 27pm3.2i 470 . . 3 (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
296iswlkOn 40865 . . 3 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐶)))
3023, 28, 29sylancl 693 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐶)))
318, 13, 21, 30mpbir3and 1238 1 (𝜑𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  2c2 10947  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs2 13437  ⟨“cs3 13438  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  WalksOncwlkson 40798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802 This theorem is referenced by:  2trlond  41146  umgr2adedgwlkon  41153
 Copyright terms: Public domain W3C validator