Theorem uzin 11596

Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzin	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztric 11585	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
2		uzss 11584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
3		sseqin2 3779	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
4	2, 3	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
5		eluzle 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
6		iftrue 4042	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
8	7	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
9	4, 8	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		uzss 11584	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
11		df-ss 3554	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
12	10, 11	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzel2 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		zre 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		zre 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
17		letri3 10002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
19	13, 14, 18	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
20		eluzle 11576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
21	20	biantrurd 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	19, 21	bitr4d 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
23	22	biimprcd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
24	6	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
25	23, 24	sylibrd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
26	25	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
27		iffalse 4045	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
28	26, 27	pm2.61d1 170	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
29	28	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
30	12, 29	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
31	9, 30	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
32	1, 31	syl 17	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  uzin2  13932  explecnv  14436  uzrest  21511