MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Structured version   Unicode version

Theorem uzin 11126
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 11115 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
2 uzss 11114 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3 sseqin2 3722 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
42, 3sylib 196 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
5 eluzle 11106 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
6 iftrue 3951 . . . . . 6  |-  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
87fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  N ) )
94, 8eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
10 uzss 11114 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
11 df-ss 3495 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>= `  N )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
1210, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 11099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzelz 11103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  M  e.  ZZ )
15 zre 10880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 zre 10880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
17 letri3 9682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
20 eluzle 11106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
2120biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
2219, 21bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  M  <_  N ) )
2322biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  N  =  M ) )
246eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M  <->  N  =  M ) )
2523, 24sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
2625com12 31 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
27 iffalse 3954 . . . . . 6  |-  ( -.  M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2826, 27pm2.61d1 159 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2928fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  M ) )
3012, 29eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
319, 30jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   RRcr 9503    <_ cle 9641   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095
This theorem is referenced by:  uzin2  13157  explecnv  13656  uzrest  20266
  Copyright terms: Public domain W3C validator