MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uzin 11191
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 11180 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
2 uzss 11179 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3 sseqin2 3651 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
42, 3sylib 200 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
5 eluzle 11171 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
6 iftrue 3887 . . . . . 6  |-  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
87fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  N ) )
94, 8eqtr4d 2488 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
10 uzss 11179 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
11 df-ss 3418 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>= `  N )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
1210, 11sylib 200 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  M  e.  ZZ )
15 zre 10941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 zre 10941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
17 letri3 9719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
20 eluzle 11171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
2120biantrurd 511 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
2219, 21bitr4d 260 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  M  <_  N ) )
2322biimprcd 229 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  N  =  M ) )
246eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M  <->  N  =  M ) )
2523, 24sylibrd 238 . . . . . . 7  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
2625com12 32 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
27 iffalse 3890 . . . . . 6  |-  ( -.  M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2826, 27pm2.61d1 163 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2928fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  M ) )
3012, 29eqtr4d 2488 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
319, 30jaoi 381 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
321, 31syl 17 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   RRcr 9538    <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-neg 9863  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by:  uzin2  13407  explecnv  13923  uzrest  20912
  Copyright terms: Public domain W3C validator