MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmf2 23942
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))

Proof of Theorem ulmf2
StepHypRef Expression
1 ulmpm 23941 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
2 ovex 6577 . . . . . 6 (ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V
3 zex 11263 . . . . . 6 ℤ ∈ V
42, 3elpm2 7775 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ dom 𝐹 ⊆ ℤ))
54simplbi 475 . . . 4 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
76adantl 481 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8 fndm 5904 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑍 → dom 𝐹 = 𝑍)
98adantr 480 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → dom 𝐹 = 𝑍)
109feq2d 5944 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
117, 10mpbid 221 1 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  pm cpm 7745  cc 9813  cz 11254  𝑢culm 23934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-pm 7747  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-ulm 23935
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  23958  ulmdvlem2  23959  ulmdvlem3  23960  mtestbdd  23963  mbfulm  23964  iblulm  23965  itgulm  23966  itgulm2  23967  lgamgulm2  24562  lgamcvglem  24566
  Copyright terms: Public domain W3C validator