Theorem ulmpm 23941

Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ulmpm	⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))

Proof of Theorem ulmpm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmf 23940	. 2 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2		uzssz 11583	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℤ
3		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V
4		zex 11263	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
5		elpm2r 7761	. . . . 5 ⊢ ((((ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V ∧ ℤ ∈ V) ∧ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℤ)) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
6	3, 4, 5	mpanl12 714	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℤ) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
7	2, 6	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
8	7	rexlimivw 3011	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
9	1, 8	syl 17	1 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744   ↑_pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ⇝_𝑢culm 23934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-pm 7747  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-ulm 23935

This theorem is referenced by:  ulmf2  23942