MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2r 7761
Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2r (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r
StepHypRef Expression
1 fdm 5964 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
21feq2d 5944 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹𝐴𝐹:𝐶𝐴))
31sseq1d 3595 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (dom 𝐹𝐵𝐶𝐵))
42, 3anbi12d 743 . . . . 5 (𝐹:𝐶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
54adantr 480 . . . 4 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
65ibir 256 . . 3 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
7 elpm2g 7760 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
86, 7syl5ibr 235 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵)))
98imp 444 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977  wss 3540  dom cdm 5038  wf 5800  (class class class)co 6549  pm cpm 7745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-pm 7747
This theorem is referenced by:  fpmg  7769  pmresg  7771  rlim  14074  ello12  14095  elo12  14106  sscpwex  16298  catcfuccl  16582  catcxpccl  16670  lmbrf  20874  cnextfval  21676  lmmbrf  22868  iscauf  22886  caucfil  22889  cmetcaulem  22894  lmclimf  22910  ismbf  23203  ismbfcn  23204  mbfconst  23208  cncombf  23231  cnmbf  23232  limcfval  23442  dvfval  23467  dvnff  23492  dvn2bss  23499  dvnfre  23521  taylfvallem1  23915  taylfval  23917  tayl0  23920  taylplem1  23921  taylply2  23926  taylply  23927  dvtaylp  23928  dvntaylp  23929  dvntaylp0  23930  taylthlem1  23931  taylthlem2  23932  ulmval  23938  ulmpm  23941  iscgrgd  25208  iseupa  26492  esumcvg  29475  mrsubfval  30659  elmrsubrn  30671  msubfval  30675  fwddifval  31439  fwddifnval  31440  dvnmptdivc  38828  dvnxpaek  38832  etransclem46  39173  issmflem  39613  fdivpm  42135  refdivpm  42136  elbigo2  42144
  Copyright terms: Public domain W3C validator