Theorem ulmf2 22646

Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ulmf2	|- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )

Proof of Theorem ulmf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmpm 22645	. . . 4 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> F e. ( ( CC ^m S ) ^pm ZZ ) )
2		ovex 6320	. . . . . 6 |- ( CC ^m S ) e. _V
3		zex 10885	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
4	2, 3	elpm2 7462	. . . . 5 |- ( F e. ( ( CC ^m S ) ^pm ZZ ) <-> ( F : dom F --> ( CC ^m S ) /\ dom F C_ ZZ ) )
5	4	simplbi 460	. . . 4 |- ( F e. ( ( CC ^m S ) ^pm ZZ ) -> F : dom F --> ( CC ^m S ) )
6	1, 5	syl 16	. . 3 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> F : dom F --> ( CC ^m S ) )
7	6	adantl 466	. 2 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : dom F --> ( CC ^m S ) )
8		fndm 5686	. . . 4 |- ( F Fn Z -> dom F = Z )
9	8	adantr 465	. . 3 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> dom F = Z )
10	9	feq2d 5724	. 2 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( F : dom F --> ( CC ^m S ) <-> F : Z --> ( CC ^m S ) ) )
11	7, 10	mpbid 210	1 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3481   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ^m cmap 7432   ^pm cpm 7433   CCcc 9502   ZZcz 10876   ~~> uculm 22638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7434  df-pm 7435  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095  df-ulm 22639

This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  22662  ulmdvlem2  22663  ulmdvlem3  22664  mtestbdd  22667  mbfulm  22668  iblulm  22669  itgulm  22670  itgulm2  22671  lgamgulm2  28403  lgamcvglem  28407