Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem2 23959
 Description: Lemma for ulmdv 23961. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem2 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2
StepHypRef Expression
1 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
21rgenw 2908 . . . . . 6 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
3 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
43fnmpt 5933 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
52, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
6 ulmdv.u . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
7 ulmf2 23942 . . . . 5 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
85, 6, 7syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
93fmpt 6289 . . . 4 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
108, 9sylibr 223 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
1110r19.21bi 2916 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
12 elmapi 7765 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ)
13 fdm 5964 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
1411, 12, 133syl 18 1 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063   D cdv 23433  ⇝𝑢culm 23934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-pm 7747  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-ulm 23935 This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  23960  ulmdv  23961
 Copyright terms: Public domain W3C validator