Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgn0bi 29936
 Description: Zero signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgn0bi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sgn0bi
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2614 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 0 = 0))
32bibi1d 332 . 2 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4 eqeq1 2614 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 1 = 0))
54bibi1d 332 . 2 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
6 eqeq1 2614 . . 3 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ -1 = 0))
76bibi1d 332 . 2 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8 simpr 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
98eqcomd 2616 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 0 = 𝐴)
109eqeq1d 2612 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11 ax-1ne0 9884 . . . . 5 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 1 ≠ 0)
1312neneqd 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 1 = 0)
14 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1514gt0ne0d 10471 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
1615neneqd 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
1713, 162falsed 365 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18 1cnd 9935 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ∈ ℂ)
1911a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ≠ 0)
2018, 19negne0d 10269 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -1 ≠ 0)
2120neneqd 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ -1 = 0)
22 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
2322lt0ne0d 10472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
2423neneqd 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
2521, 242falsed 365 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
261, 3, 5, 7, 10, 17, 25sgn3da 29930 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  -cneg 10146  sgncsgn 13674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-sgn 13675 This theorem is referenced by:  signsvtn0  29973  signstfvneq0  29975
 Copyright terms: Public domain W3C validator