Theorem rpgecld 11787

Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rpgecld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		rpgecld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
4		rpgecl 11735	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  rlimno1  14232  isumrpcl  14414  divlogrlim  24181  logno1  24182  chprpcl  24732  vmadivsumb  24972  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  selbergb  25038  selberg2b  25041  selberg3lem2  25047  selberg3  25048  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6a  25071  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntibndlem2  25080  pntlemb  25086