MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpgecld Structured version   Unicode version

Theorem rpgecld 11083
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
rpgecld.3  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
Assertion
Ref Expression
rpgecld  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpgecld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
2 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 rpgecld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
4 rpgecl 11037 . 2  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  A  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   RRcr 9302    <_ cle 9440   RR+crp 11012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-rp 11013
This theorem is referenced by:  rlimno1  13152  isumrpcl  13327  divlogrlim  22102  logno1  22103  chprpcl  22568  vmadivsumb  22754  vmalogdivsum2  22809  vmalogdivsum  22810  2vmadivsumlem  22811  selbergb  22820  selberg2b  22823  selberg3lem2  22829  selberg3  22830  selberg4lem1  22831  selberg4  22832  selberg3r  22840  selberg4r  22841  selberg34r  22842  pntrlog2bndlem1  22848  pntrlog2bndlem2  22849  pntrlog2bndlem3  22850  pntrlog2bndlem4  22851  pntrlog2bndlem5  22852  pntrlog2bndlem6a  22853  pntrlog2bndlem6  22854  pntrlog2bnd  22855  pntibndlem2  22862  pntlemb  22868
  Copyright terms: Public domain W3C validator