Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resv1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resv1r 29168
 Description: 1r is unaffected by scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvbas.1 𝐻 = (𝐺v 𝐴)
resv1r.2 1 = (1r𝐺)
Assertion
Ref Expression
resv1r (𝐴𝑉1 = (1r𝐻))

Proof of Theorem resv1r
Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resvbas.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝐺v 𝐴)
2 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2resvbas 29163 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
43eleq2d 2673 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝐻)))
5 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (.r𝐺) = (.r𝐺)
61, 5resvmulr 29166 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (.r𝐺) = (.r𝐻))
76oveqd 6566 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝑒(.r𝐺)𝑥) = (𝑒(.r𝐻)𝑥))
87eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥))
96oveqd 6566 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝑥(.r𝐺)𝑒) = (𝑥(.r𝐻)𝑒))
109eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥))
118, 10anbi12d 743 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥)))
123, 11raleqbidv 3129 . . . 4 (𝐴𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥)))
134, 12anbi12d 743 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥))))
1413iotabidv 5789 . 2 (𝐴𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥))))
15 resv1r.2 . . 3 1 = (1r𝐺)
162, 5, 15dfur2 18327 . 2 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥)))
17 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
18 eqid 2610 . . 3 (.r𝐻) = (.r𝐻)
19 eqid 2610 . . 3 (1r𝐻) = (1r𝐻)
2017, 18, 19dfur2 18327 . 2 (1r𝐻) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥)))
2114, 16, 203eqtr4g 2669 1 (𝐴𝑉1 = (1r𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ℩cio 5766  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  1rcur 18324   ↾v cresv 29155 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-0g 15925  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-resv 29156 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator