Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimincfltioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimincfltioc 39603
 Description: Given a non decreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioc.x 𝑥𝜑
pimincfltioc.h 𝑦𝜑
pimincfltioc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioc.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioc.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioc.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioc.e (𝜑𝑆𝑌)
pimincfltioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioc (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimincfltioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioc.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 3650 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3598 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3578 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioc.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioc.e . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 pimincfltioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 38628 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 3799 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioc.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 3762 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 pimincfltioc.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1716, 14ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
183, 8sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝐴)
1915, 18ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
21 pimincfltioc.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)))
2423anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))))
25 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
2625breq1d 4593 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆)))
2724, 26imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆)) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆))))
28 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
2912, 28nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴))
30 pimincfltioc.h . . . . . . . . . . 11 𝑦𝜑
31 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
3230, 31nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴))
33 pimincfltioc.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
3433adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
35 elinel2 3762 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧𝐴)
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧𝐴)
3718adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆𝐴)
38 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
40 ressxr 9962 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
416, 8sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
44 elinel1 3761 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧𝐼)
4544, 9syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47 iocleub 38572 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑧𝑆)
4839, 43, 46, 47syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧𝑆)
4929, 32, 34, 36, 37, 48dmrelrnrel 38414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆))
5027, 49chvarv 2251 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆))
51 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
5251breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑆) < 𝑅))
5352, 1elrab2 3333 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑌 ↔ (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑆) < 𝑅))
548, 53sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑆) < 𝑅))
5554simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) < 𝑅)
5655adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) < 𝑅)
5717, 20, 22, 50, 56xrlelttrd 11867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
5814, 57jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
591rabid3 38285 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
6058, 59sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
6160ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
6212, 61ralrimi 2940 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
6328nfci 2741 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
64 nfrab1 3099 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
651, 64nfcxfr 2749 . . . 4 𝑥𝑌
6663, 65dfss3f 3560 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
6762, 66sylibr 223 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
6811, 67eqssd 3585 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,]cioc 12047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-ioc 12051 This theorem is referenced by:  incsmflem  39628
 Copyright terms: Public domain W3C validator