Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrss14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrss14 36450
 Description: First-quadrant Pell solutions are a subset of the positive solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrss14 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qrss14
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 11277 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ))
32anim1d 586 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
43reximdv2 2997 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
54reximdv 2999 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
65anim2d 587 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
7 elpell1qr 36429 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
8 elpell14qr 36431 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
96, 7, 83imtr4d 282 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
109ssrdv 3574 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  ◻NNcsquarenn 36418  Pell1QRcpell1qr 36419  Pell14QRcpell14qr 36421 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-pell1qr 36424  df-pell14qr 36425 This theorem is referenced by:  elpell1qr2  36454  pellfundre  36463  pellfundge  36464  pellfundglb  36467  pellfundex  36468  pellfund14  36480  pellfund14b  36481  rmspecfund  36492
 Copyright terms: Public domain W3C validator