MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord0eln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ord0eln0 5696
Description: A nonempty ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
ord0eln0 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ord0eln0
StepHypRef Expression
1 ne0i 3880 . 2 (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
2 ord0 5694 . . . 4 Ord ∅
3 noel 3878 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 ordtri2 5675 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 ∈ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴)))
54con2bid 343 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∅))
63, 5mpbiri 247 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
72, 6mpan2 703 . . 3 (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8 neor 2873 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
97, 8sylib 207 . 2 (Ord 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
101, 9impbid2 215 1 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  c0 3874  Ord word 5639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643
This theorem is referenced by:  on0eln0  5697  dflim2  5698  0ellim  5704  0elsuc  6927  ordge1n0  7465  omwordi  7538  omass  7547  nnmord  7599  nnmwordi  7602  wemapwe  8477  elni2  9578  bnj529  30065
  Copyright terms: Public domain W3C validator