Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprlem 18451
 Description: Lemma for opprbas 18452 and oppradd 18453. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
opprlem.2 𝐸 = Slot 𝑁
opprlem.3 𝑁 ∈ ℕ
opprlem.4 𝑁 < 3
Assertion
Ref Expression
opprlem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)

Proof of Theorem opprlem
StepHypRef Expression
1 opprlem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 opprlem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 15716 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
42nnrei 10906 . . . . 5 𝑁 ∈ ℝ
5 opprlem.4 . . . . 5 𝑁 < 3
64, 5ltneii 10029 . . . 4 𝑁 ≠ 3
71, 2ndxarg 15715 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
8 mulrndx 15821 . . . . 5 (.r‘ndx) = 3
97, 8neeq12i 2848 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
106, 9mpbir 220 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
113, 10setsnid 15743 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩))
12 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2610 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
14 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
1512, 13, 14opprval 18447 . . 3 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩)
1615fveq2i 6106 . 2 (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r𝑅)⟩))
1711, 16eqtr4i 2635 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  tpos ctpos 7238   < clt 9953  ℕcn 10897  3c3 10948  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Slot cslot 15694  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  opprcoppr 18445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-mulr 15782  df-oppr 18446 This theorem is referenced by:  opprbas  18452  oppradd  18453
 Copyright terms: Public domain W3C validator