MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprlem Structured version   Unicode version

Theorem opprlem 17090
Description: Lemma for opprbas 17091 and oppradd 17092. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1  |-  O  =  (oppr
`  R )
opprlem.2  |-  E  = Slot 
N
opprlem.3  |-  N  e.  NN
opprlem.4  |-  N  <  3
Assertion
Ref Expression
opprlem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  O
)

Proof of Theorem opprlem
StepHypRef Expression
1 opprlem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 opprlem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 14514 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
42nnrei 10546 . . . . 5  |-  N  e.  RR
5 opprlem.4 . . . . 5  |-  N  <  3
64, 5ltneii 9698 . . . 4  |-  N  =/=  3
71, 2ndxarg 14513 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
8 mulrndx 14603 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
97, 8neeq12i 2756 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( .r `  ndx ) 
<->  N  =/=  3 )
106, 9mpbir 209 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
113, 10setsnid 14535 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( .r `  ndx ) , tpos  ( .r
`  R ) >.
) )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
14 opprbas.1 . . . 4  |-  O  =  (oppr
`  R )
1512, 13, 14opprval 17086 . . 3  |-  O  =  ( R sSet  <. ( .r `  ndx ) , tpos  ( .r `  R
) >. )
1615fveq2i 5869 . 2  |-  ( E `
 O )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( .r `  ndx ) , tpos  ( .r
`  R ) >.
) )
1711, 16eqtr4i 2499 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285  tpos ctpos 6955    < clt 9629   NNcn 10537   3c3 10587   ndxcnx 14490   sSet csts 14491  Slot cslot 14492   Basecbs 14493   .rcmulr 14559  opprcoppr 17084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-sets 14499  df-mulr 14572  df-oppr 17085
This theorem is referenced by:  opprbas  17091  oppradd  17092
  Copyright terms: Public domain W3C validator