Theorem omsinds 6976

Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
omsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
omsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
omsinds	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 6961	. . 3 ⊢ ω ⊆ On
2		epweon 6875	. . 3 ⊢ E We On
3		wess 5025	. . 3 ⊢ (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ E We ω
5		epse 5021	. 2 ⊢ E Se ω
6		omsinds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		omsinds.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		predep 5623	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = (ω ∩ 𝑥))
9		ordom 6966	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
10		ordtr 5654	. . . . . . 7 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
11		trss 4689	. . . . . . 7 ⊢ (Tr ω → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω)
13		sseqin2 3779	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ω ↔ (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
14	12, 13	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
15	8, 14	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
16	15	raleqdv 3121	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓))
17		omsinds.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
18	16, 17	sylbid 229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
19	4, 5, 6, 7, 18	wfis3 5638	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  Tr wtr 4680   E cep 4947   We wwe 4996  Predcpred 5596  Ord word 5639  Oncon0 5640  ωcom 6957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-om 6958

This theorem is referenced by: (None)