Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsinds Unicode version

Theorem omsinds 25433
Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
omsinds.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
omsinds.3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
omsinds  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Distinct variable groups:    x, A    ch, x    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    A( y)

Proof of Theorem omsinds
StepHypRef Expression
1 omsson 4808 . . 3  |-  om  C_  On
2 epweon 4723 . . 3  |-  _E  We  On
3 wess 4529 . . 3  |-  ( om  C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  om ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  _E  We  om
5 epse 4525 . 2  |-  _E Se  om
6 omsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
7 omsinds.2 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
8 predep 25406 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  ( om 
i^i  x ) )
9 ordom 4813 . . . . . . 7  |-  Ord  om
10 ordtr 4555 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
11 trss 4271 . . . . . . 7  |-  ( Tr 
om  ->  ( x  e. 
om  ->  x  C_  om )
)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  C_ 
om )
13 dfss1 3505 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  om  <->  ( om  i^i  x )  =  x )
1412, 13sylib 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  ( om  i^i  x )  =  x )
158, 14eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  x )
1615raleqdv 2870 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  <->  A. y  e.  x  ps )
)
17 omsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
1816, 17sylbid 207 . 2  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  ->  ph ) )
194, 5, 6, 7, 18wfis3 25429 1  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    i^i cin 3279    C_ wss 3280   Tr wtr 4262    _E cep 4452    We wwe 4500   Ord word 4540   Oncon0 4541   omcom 4804   Predcpred 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 25382
  Copyright terms: Public domain W3C validator