Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindfres 19981
 Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 5570 . . 3 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋))
2 resdmres 5543 . . 3 (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
31, 2eqtri 2632 . 2 (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋)
4 f1oi 6086 . . . . 5 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋)
5 f1of1 6049 . . . . 5 (( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋)
7 resss 5342 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
8 dmss 5245 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹
10 f1ss 6019 . . . 4 ((( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom (𝐹𝑋) ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹)
116, 9, 10mp2an 704 . . 3 ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹
12 f1lindf 19980 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
1311, 12mp3an3 1405 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹𝑋))) LIndF 𝑊)
143, 13syl5eqbrr 4619 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹𝑋) LIndF 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   I cid 4948  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  LModclmod 18686   LIndF clindf 19962 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-slot 15699  df-base 15700  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lindf 19964 This theorem is referenced by:  lindsss  19982
 Copyright terms: Public domain W3C validator