MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfres Structured version   Unicode version

Theorem lindfres 18618
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 5516 . . 3  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )
2 resdmres 5489 . . 3  |-  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F  |`  X )
31, 2eqtri 2489 . 2  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  X )
4 f1oi 5842 . . . . 5  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )
5 f1of1 5806 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )
7 resss 5288 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
8 dmss 5193 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F
10 f1ss 5777 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)
116, 9, 10mp2an 672 . . 3  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
12 f1lindf 18617 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
1311, 12mp3an3 1308 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
143, 13syl5eqbrr 4474 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    _I cid 4783   dom cdm 4992    |` cres 4994    o. ccom 4996   -1-1->wf1 5576   -1-1-onto->wf1o 5578   LModclmod 17288   LIndF clindf 18599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-slot 14483  df-base 14484  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lindf 18601
This theorem is referenced by:  lindsss  18619
  Copyright terms: Public domain W3C validator