Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcomfsupp 18726
 Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s · = ( ·𝑠𝑊)
lcomf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
lcomf.h (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
lcomf.i (𝜑𝐼𝑉)
lcomfsupp.z 0 = (0g𝑊)
lcomfsupp.y 𝑌 = (0g𝐹)
lcomfsupp.j (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lcomfsupp (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupp.j . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 8165 . . 3 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 lcomf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lcomf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lcomf.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lcomf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 lcomf.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lcomf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
9 lcomf.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
10 lcomf.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcomf 18725 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻):𝐼𝐵)
12 eldifi 3694 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥𝐼)
13 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐼𝐾𝐺 Fn 𝐼)
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
16 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐼𝐵𝐻 Fn 𝐼)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
1910adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
21 fnfvof 6809 . . . . . . 7 (((𝐺 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2215, 18, 19, 20, 21syl22anc 1319 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2312, 22sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
24 ssid 3587 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
26 lcomfsupp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (0g𝐹)
27 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) ∈ V
2826, 27eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
308, 25, 10, 29suppssr 7213 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺𝑥) = 𝑌)
3130oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)) = (𝑌 · (𝐻𝑥)))
327adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
339ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
34 lcomfsupp.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
356, 3, 5, 26, 34lmod0vs 18719 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3632, 33, 35syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3712, 36sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3823, 31, 373eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
3911, 38suppss 7212 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
40 ssfi 8065 . . 3 (((𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin ∧ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)) → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
412, 39, 40syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
42 inidm 3784 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
4314, 17, 10, 10, 42offn 6806 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼)
44 fnfun 5902 . . . 4 ((𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
46 ovex 6577 . . . 4 (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V
4746a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V)
48 fvex 6113 . . . . 5 (0g𝑊) ∈ V
4934, 48eqeltri 2684 . . . 4 0 ∈ V
5049a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
51 funisfsupp 8163 . . 3 ((Fun (𝐺𝑓 · 𝐻) ∧ (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
5245, 47, 50, 51syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
5341, 52mpbird 246 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   supp csupp 7182  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  LModclmod 18686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-supp 7183  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372  df-lmod 18688 This theorem is referenced by:  islindf4  19996
 Copyright terms: Public domain W3C validator