Theorem lcomfsupp 18726

Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lcomf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
lcomf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
lcomf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lcomfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcomfsupp.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
lcomfsupp.j	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lcomfsupp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomfsupp.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 8165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		lcomf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lcomf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lcomf.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lcomf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		lcomf.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcomf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
9		lcomf.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
10		lcomf.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcomf 18725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻):𝐼⟶𝐵)
12		eldifi 3694	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐾 → 𝐺 Fn 𝐼)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
16		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻:𝐼⟶𝐵 → 𝐻 Fn 𝐼)
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
19	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
21		fnfvof 6809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
22	15, 18, 19, 20, 21	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
23	12, 22	sylan2 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
24		ssid 3587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
26		lcomfsupp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
27		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) ∈ V
28	26, 27	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
30	8, 25, 10, 29	suppssr 7213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺‘𝑥) = 𝑌)
31	30	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) = (𝑌 · (𝐻‘𝑥)))
32	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
33	9	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		lcomfsupp.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
35	6, 3, 5, 26, 34	lmod0vs 18719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
36	32, 33, 35	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
37	12, 36	sylan2 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
38	23, 31, 37	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
39	11, 38	suppss 7212	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
40		ssfi 8065	. . 3 ⊢ (((𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
41	2, 39, 40	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
42		inidm 3784	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
43	14, 17, 10, 10, 42	offn 6806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼)
44		fnfun 5902	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼 → Fun (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻))
46		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V)
48		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
49	34, 48	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
51		funisfsupp 8163	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∧ (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
52	45, 47, 50, 51	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
53	41, 52	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   supp csupp 7182  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  0_gc0g 15923  LModclmod 18686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-supp 7183  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372  df-lmod 18688

This theorem is referenced by:  islindf4  19996