Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtinfOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtinfOLD 31484
 Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) Obsolete version of gtinf 31483 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gtinfOLD (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gtinfOLD
StepHypRef Expression
1 simprl 790 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 gtso 9998 . . . . . . 7 < Or ℝ
32supex 8252 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ V
4 brcnvg 5225 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ V) → (𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴))
53, 4mpan2 703 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴))
65biimpar 501 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴) → 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ))
76adantl 481 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ))
82a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → < Or ℝ)
9 infm3 10861 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
10 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
11 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1210, 11brcnv 5227 . . . . . . . . . 10 (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)
1312notbii 309 . . . . . . . . 9 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
1413ralbii 2963 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
1511, 10brcnv 5227 . . . . . . . . . 10 (𝑦 < 𝑥𝑥 < 𝑦)
16 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1711, 16brcnv 5227 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)
1817rexbii 3023 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)
1915, 18imbi12i 339 . . . . . . . . 9 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
2019ralbii 2963 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
2114, 20anbi12i 729 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
2221rexbii 3023 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
239, 22sylibr 223 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
2423adantr 480 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
258, 24suplub 8249 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < )) → ∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧))
261, 7, 25mp2and 711 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧)
27 brcnvg 5225 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐴))
2816, 27mpan2 703 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐴))
2928rexbidv 3034 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴))
3029ad2antrl 760 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → (∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴))
3126, 30mpbid 221 1 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958  ◡ccnv 5037  supcsup 8229  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator