Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnrebl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnrebl 31485
 Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an open ball. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
opnrebl (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem opnrebl
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 22402 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
3 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
41, 3tgioo 22407 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
54elmopn2 22060 . . 3 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)))
62, 5ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴))
7 ssel2 3563 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 rpre 11715 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
91bl2ioo 22403 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
108, 9sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
1110sseq1d 3595 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
1211rexbidva 3031 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
137, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
1413ralbidva 2968 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
1514pm5.32i 667 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
166, 15bitri 263 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ⊆ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   × cxp 5036  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  abscabs 13822  topGenctg 15921  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-bases 20522 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator